Questão de Matemática · FGV CBMERJ 2024 (nº 36)

Para encontrar o ponto de uma circunferência que está mais próximo do eixo-y, precisamos identificar o ponto que tem o menor valor absoluto da coordenada $x$. A equação de uma circunferência é $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, onde $(h,k)$ é o centro e $r$ é o raio.

• (A) Incorreta: O ponto $(-4; 5)$ não pertence à circunferência, pois $(-4-4)^2 + (5+5)^2 = (-8)^2 + (10)^2 = 64 + 100 = 164 \neq 4$.
• (B) Incorreta: O ponto $(-4; 3)$ não pertence à circunferência, pois $(-4-4)^2 + (3+5)^2 = (-8)^2 + (8)^2 = 64 + 64 = 128 \neq 4$.
• (C) Incorreta: O ponto $(4; -3)$ pertence à circunferência, pois $(4-4)^2 + (-3+5)^2 = 0^2 + 2^2 = 4$. No entanto, a coordenada $x$ desse ponto é $4$. A circunferência tem centro$(4, -5)$e raio$r=2$. As coordenadas$x$dos pontos da circunferência variam de$h-r$a$h+r, ou seja, de \4-2=2 a \4+2=6$. O ponto mais próximo do eixo-y (que é a linha$x=0$) terá o menor valor positivo de$x$, que é$x=2$. Este é um distrator comum, pois é um ponto válido na circunferência, mas não o mais próximo do eixo-y.
• (D) Incorreta: O ponto $(-2; 5)$ não pertence à circunferência, pois $(-2-4)^2 + (5+5)^2 = (-6)^2 + (10)^2 = 36 + 100 = 136 \neq 4$.
• (E) Correta: A circunferência tem centro $(4, -5)$ e raio $r=2$. Para encontrar o ponto mais próximo do eixo-y, procuramos o menor valor de $|x|$. Como o centro está em $x=4$ e o raio é $2$, os valores de$x na circunferência variam de \4-2=2 a \4+2=6$. O menor valor de$x é \2$. Substituindo$x=2$na equação da circunferência:$(2-4)^2 + (y+5)^2 = 4 \Rightarrow (-2)^2 + (y+5)^2 = 4 \Rightarrow 4 + (y+5)^2 = 4 \Rightarrow (y+5)^2 = 0 \Rightarrow y+5=0 \Rightarrow y=-5$. Portanto, o ponto é$(2; -5)$.