Questão de Matemática · FGV CBMERJ 2024 (nº 34)

Mediana é o valor do meio de um conjunto de dados quando eles estão organizados em ordem crescente ou decrescente. Se o número de dados for ímpar, é o valor central; se for par, é a média dos dois valores centrais. A moda é o valor que aparece com maior frequência em um conjunto de dados. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número total de valores.

Para resolver, primeiro identificamos $X$. O conjunto é $5, 2, 3, X, 2$.

1. Mediana é $X$: O conjunto tem 5 medidas. Para encontrar a mediana, ordenamos os valores. Os valores conhecidos são $2, 2, 3, 5$. A mediana será o 3º valor na ordem.
2. Moda única: Apenas um valor aparece com maior frequência.

Vamos testar as possibilidades para $X$ ser a mediana e garantir moda única:

• Se $X$ fosse 3: O conjunto ordenado seria $2, 2, 3, 3, 5$. A mediana seria 3 (que é$X$). No entanto, a moda seria 2 e 3 (ambos aparecem duas vezes), o que não é uma moda única. Então,$X \neq 3$.
• Se $X$ fosse maior que 3 (ex: 4 ou 5): O conjunto ordenado seria $2, 2, 3, X, 5$(se$X=4) ou \2, 2, 3, 5, X$ (se $X=5$). Em ambos os casos, a mediana seria 3. Mas a questão diz que $X$ é a mediana, então $X$ teria que ser 3, o que contradiz nossa suposição.
• Se $X$ fosse menor ou igual a 2: Se $X=2$, o conjunto ordenado seria $2, 2, 2, 3, 5$. A mediana é 2 (que é$X$). A moda é 2 (aparece 3 vezes), o que é uma moda única. Esta é a única possibilidade que satisfaz todas as condições.

Portanto, $X=2$.
Agora, calculamos a média do conjunto $5, 2, 3, 2, 2$: Média =$(5 + 2 + 3 + 2 + 2) / 5 = 14 / 5 = 2,8$.

(A) Correta: A média é 2,8. O valor de $X$ que satisfaz as condições de ser a mediana e garantir uma moda única é $X=2$. Com $X=2$, o conjunto é $5, 2, 3, 2, 2. A soma é \5+2+3+2+2=14. A média é \14/5 = 2,8$. **(B) Incorreta:** Não corresponde ao cálculo correto da média com$X=2$. **(C) Incorreta:** Esta seria a média se$X fosse 3 (soma \15/5=3,0$). No entanto, se$X=3$, o conjunto teria moda 2 e 3 (bimodal), o que contradiz a condição de ter moda única. **Armadilha da banca:** O distrator mais tentador, pois$X=3$faria de$X$a mediana, mas falharia na condição da moda única. **(D) Incorreta:** Não corresponde ao cálculo correto da média com$X=2$. **(E) Incorreta:** Não corresponde ao cálculo correto da média com$X=2$.