Questão de Raciocínio Lógico · FGV CBMAM 2021 (nº 30)

A mediana é o valor do meio em um conjunto de números ordenados. Se a quantidade de números é ímpar, como 11, a mediana é o número que está exatamente no centro após a ordenação.

Para maximizar a mediana ($x_6$), devemos minimizar os outros números do conjunto.

1. Os 5 números anteriores à mediana ($x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$) devem ser os menores possíveis. Como são inteiros estritamente positivos, o menor valor é 1. Assim, $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=1$.
2. Os 5 números posteriores à mediana ($x_7, x_8, x_9, x_{10}, x_{11}$) também devem ser os menores possíveis, respeitando a ordem ($x_i \ge x_6$). O menor valor possível para cada um deles é a própria mediana, $x_6$. Assim, $x_7=x_8=x_9=x_{10}=x_{11}=x_6$.

A soma dos 11 números será:
$S = (x_1+...+x_5) + x_6 + (x_7+...+x_{11})$
$S = (5 \times 1) + x_6 + (5 \times x_6)$
$S = 5 + 6x_6$

Sabemos que a soma é 2022:
$5 + 6x_6 = 2022$
$6x_6 = 2022 - 5$
$6x_6 = 2017$
$x_6 = \frac{2017}{6} \approx 336,166...$

Como a mediana ($x_6$) deve ser um número inteiro, e estamos buscando o maior valor possível, $x_6$ não pode ser 337 (pois $5 + 6 \times 337 = 5 + 2022 = 2027$, que é maior que a soma permitida de 2022). Portanto, o maior valor inteiro possível para $x_6$ é 336.

Agora, precisamos verificar se é possível construir um conjunto com mediana 336 e soma 2022.
Se $x_6 = 336$, a configuração inicial seria:
$1, 1, 1, 1, 1, 336, 336, 336, 336, 336, 336$. A soma desses números é$5 \times 1 + 6 \times 336 = 5 + 2016 = 2021$. Para que a soma seja 2022, precisamos adicionar 1. Podemos adicionar esse 1 a qualquer um dos números *iguais ou maiores que a mediana* sem alterar a mediana nem a ordem. A maneira mais segura é adicionar ao último número ($x_{11}). Assim, o conjunto seria: \1, 1, 1, 1, 1, 336, 336, 336, 336, 336, 337$.
Este conjunto satisfaz todas as condições:

• 11 números inteiros estritamente positivos.
• Soma: $5+1680+337 = 2022$.
• Ordenado: $1 \le ... \le 1 \le 336 \le ... \le 336 \le 337$.
• Mediana (o 6º número) é 336.

(A) Incorreta: 335. É um valor possível, mas não o máximo.
(B) Correta: 336. É o maior valor possível para a mediana, conforme demonstrado.
(C) Incorreta: 337. Este é o distrator mais tentador. Se a mediana fosse 337, a soma mínima dos 11 números seria $5 \times 1 + 6 \times 337 = 5 + 2022 = 2027$. Como a soma máxima permitida é 2022, uma mediana de 337 é impossível.
(D) Incorreta: 338. É um valor ainda maior que 337, portanto, também impossível.
(E) Incorreta: 339. É um valor ainda maior que 337, portanto, também impossível.