Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV BBTS 2023 (nº 21)

A probabilidade condicional é a chance de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu. Para calculá-la, primeiro identificamos todos os resultados que satisfazem a condição (o "dado que") e este conjunto se torna nosso novo espaço amostral. Em seguida, contamos quantos desses resultados também satisfazem o evento de interesse.

Passo a passo:

1. Identificar o espaço amostral da condição (Evento B): A condição é que o número do primeiro lançamento ($L_1$) seja a soma dos outros dois ($L_2 + L_3$).

   • Os valores de $L_1, L_2, L_3$ são de 1 a 6.
   • A soma $L_2 + L_3$ pode variar de $1+1=2 a \6+6=12$.
   • Como $L_1$ é um resultado de dado, ele só pode ser 2, 3, 4, 5 ou 6.
   • Listando os trios $(L_1, L_2, L_3)$ que satisfazem $L_1 = L_2 + L_3$:
     • $L_1=2$: $(2,1,1)$ (1 caso)
     • $L_1=3$: $(3,1,2), (3,2,1)$ (2 casos)
     • $L_1=4$: $(4,1,3), (4,2,2), (4,3,1)$ (3 casos)
     • $L_1=5$: $(5,1,4), (5,2,3), (5,3,2), (5,4,1)$ (4 casos)
     • $L_1=6$: $(6,1,5), (6,2,4), (6,3,3), (6,4,2), (6,5,1)$ (5 casos)
   • O total de casos que satisfazem a condição é $1+2+3+4+5 = 15$. Este é o nosso denominador.

2. Identificar os casos favoráveis (Evento A ∩ B): Desses 15 casos, quantos contêm o número 1 (pelo menos uma vez)?

   • Note que $L_1$ nunca pode ser 1, pois a soma mínima de $L_2+L_3$ é 2. Portanto, o 1 só pode aparecer em $L_2$ ou $L_3$.
   • Vamos verificar quais dos 15 casos listados acima contêm o número 1:
     • $(2,1,1)$ - sim
     • $(3,1,2)$ - sim
     • $(3,2,1)$ - sim
     • $(4,1,3)$ - sim
     • $(4,2,2)$ - não
     • $(4,3,1)$ - sim
     • $(5,1,4)$ - sim
     • $(5,2,3)$ - não
     • $(5,3,2)$ - não
     • $(5,4,1)$ - sim
     • $(6,1,5)$ - sim
     • $(6,2,4)$ - não
     • $(6,3,3)$ - não
     • $(6,4,2)$ - não
     • $(6,5,1)$ - sim
   • Contando os casos com o número 1: $1+2+2+2+2 = 9$ casos. Este é o nosso numerador.

3. Calcular a probabilidade:

   • A probabilidade é $\frac{\text{Casos favoráveis}}{\text{Total de casos da condição}} = \frac{9}{15}$.
   • Simplificando a fração, obtemos $\frac{3}{5}$.

(A) Incorreta: $\frac{1}{6}$ seria $2,5/15$, o que não corresponde a uma contagem inteira de casos. Não há um erro comum que leve diretamente a este valor. **(B) Incorreta:**$\frac{1}{3} corresponde a \5/15$. Isso ocorreria se o aluno perdesse 4 casos favoráveis (por exemplo, se ignorasse os casos de$L_1=2$e$L_1=3$). **(C) Incorreta:**$\frac{2}{3} corresponde a \10/15$. Isso ocorreria se o aluno contasse um caso favorável a mais do que o correto. **(D) Incorreta:**$\frac{2}{5} corresponde a \6/15$. A armadilha aqui seria se o aluno ignorasse os casos em que$L_1=2$ou$L_1=3$. Nesses casos, o número de trios com 1 seria:$L_1=4 \implies (4,1,3), (4,3,1)$(2 casos);$L_1=5 \implies (5,1,4), (5,4,1)$(2 casos);$L_1=6 \implies (6,1,5), (6,5,1) (2 casos). Somando, daria \2+2+2=6 casos, levando a \6/15 = 2/5$. **(E) Correta:** A probabilidade é$\frac{9}{15}$, que simplifica para$\frac{3}{5}$, conforme calculado no passo a passo.