Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV BBTS 2023 (nº 17)

Em problemas de raciocínio lógico com transferências aleatórias, o segredo é definir variáveis para as quantidades incertas e, em seguida, analisar o intervalo de possibilidades (mínimo e máximo) para essas variáveis, expressando o estado final em função delas.

• Situação Inicial:

  • Caixa A: 10 bolas azuis (A_azul=10, A_verde=0)
  • Caixa B: 10 bolas verdes (B_azul=0, B_verde=10)

• Passo 1: Transferir 7 bolas de A para B.

  • Como todas as bolas em A são azuis, 7 bolas azuis são transferidas.
  • Estado após Passo 1:
    • Caixa A: 3 bolas azuis (A_azul=3, A_verde=0). Total: 3 bolas.
    • Caixa B: 7 bolas azuis + 10 bolas verdes (B_azul=7, B_verde=10). Total: 17 bolas.

• Passo 2: Transferir 5 bolas aleatoriamente de B para A.

  • Caixa B tem 17 bolas (7 azuis e 10 verdes).
  • Seja 'x' o número de bolas azuis transferidas de B para A.
  • Seja 'y' o número de bolas verdes transferidas de B para A.
  • Sabemos que $x + y = 5$ (total de 5 bolas transferidas).
  • O valor de 'x' pode variar:
    • Mínimo de 'x': 0 (se as 5 bolas transferidas forem verdes, então y=5).
    • Máximo de 'x': 5 (se as 5 bolas transferidas forem azuis, o que é possível, pois B tem 7 azuis; então y=0).
  • Estado Final (após Passo 2):
    • Caixa A: $(3 + x)$ bolas azuis e $y$ bolas verdes.
    • Caixa B: $(7 - x)$ bolas azuis e $(10 - y)$ bolas verdes.

• Análise das Alternativas:

• (A) Incorreta: A diferença de bolas azuis é $A_{azul} - B_{azul} = (3+x) - (7-x) = 2x - 4$. Se $x=0$, a diferença é $-4$, ou seja, A tem 4 bolas azuis a menos que B.

• (B) Incorreta: A diferença de bolas verdes é $B_{verde} - A_{verde} = (10-y) - y = 10 - 2y$. Se $y=5$ (o que acontece quando $x=0$), a diferença é $10 - 2(5) = 0$, ou seja, as caixas têm o mesmo número de bolas verdes.

• (C) Correta: A diferença de bolas azuis é $A_{azul} - B_{azul} = 2x - 4$. Para encontrar o valor máximo dessa diferença, usamos o valor máximo de 'x', que é 5. Assim, $2(5) - 4 = 10 - 4 = 6$. Portanto, a caixa A tem, no máximo, 6 bolas azuis a mais do que a B.

• (D) Incorreta: A diferença de bolas azuis é $B_{azul} - A_{azul} = (7-x) - (3+x) = 4 - 2x$. Para encontrar o valor mínimo dessa diferença, usamos o valor máximo de 'x', que é 5. Assim, $4 - 2(5) = 4 - 10 = -6$. A caixa B pode ter até 6 bolas azuis a menos que a A, não "no mínimo, 2 bolas azuis a mais".

• (E) Incorreta: As caixas têm o mesmo número de bolas verdes se $y = 10 - y$, o que implica $2y=10$, ou$y=5$. Isso só ocorre se as 5 bolas transferidas de B para A forem todas verdes. É uma possibilidade, mas não uma conclusão que é sempre verdadeira.