Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV BBTS 2023 (nº 15)

A figura formada pela conexão dos pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero (incluindo um retângulo) é sempre um paralelogramo, e a área desse paralelogramo é exatamente a metade da área do quadrilátero original.

Para resolver, primeiro identificamos os pontos dados como os vértices de um paralelogramo e calculamos sua área. Depois, dobramos esse valor para encontrar a área do retângulo original.

1. Encontrar a ordem correta dos pontos para formar o paralelogramo: Os pontos médios são $P_1(-1, 1)$, $P_2(2, 3)$, $P_3(2, -1)$ e $P_4(5, 1)$. Em um paralelogramo, as diagonais se cruzam no ponto médio. Vamos verificar quais pares de pontos formam diagonais cujos pontos médios coincidem:

   • Ponto médio de $P_1P_4$: $(\frac{-1+5}{2}, \frac{1+1}{2}) = (2, 1)$.
   • Ponto médio de $P_2P_3$: $(\frac{2+2}{2}, \frac{3-1}{2}) = (2, 1)$.
     Como os pontos médios coincidem, $P_1P_4$ e $P_2P_3$ são as diagonais do paralelogramo formado pelos pontos médios.

2. Calcular o comprimento das diagonais:

   • Comprimento da diagonal $d_1 = P_1P_4$: $\sqrt{(5 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$.
   • Comprimento da diagonal $d_2 = P_2P_3$: $\sqrt{(2 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$.

3. Calcular a área do paralelogramo (losango): Como as diagonais são perpendiculares (uma é horizontal e a outra vertical), o paralelogramo é um losango. A área de um losango é $\frac{d_1 \times d_2}{2}$.

   • Área do losango = $\frac{6 \times 4}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

4. Calcular a área do retângulo original: A área do paralelogramo formado pelos pontos médios é metade da área do retângulo original.

   • Área do retângulo = $2 \times (\text{Área do losango}) = 2 \times 12 = 24$.

(A) Incorreta: 6 é o comprimento de uma das diagonais do losango formado pelos pontos médios.
(B) Incorreta: 12 é a área do losango formado pelos pontos médios dos lados do retângulo, não a área do retângulo original. Armadilha da banca: O aluno pode calcular corretamente a área do losango formado pelos pontos médios e parar por aí, esquecendo que essa área é apenas metade da área do retângulo original.
(C) Correta: A área do retângulo original é o dobro da área do paralelogramo (losango) formado pelos seus pontos médios, que calculamos como 12. Portanto, $2 \times 12 = 24$.
(D) Incorreta: 36 não corresponde a nenhum cálculo direto ou propriedade relevante neste contexto.
(E) Incorreta: 48 seria o resultado de $2 \times d_1 \times d_2$, que não representa a área do retângulo nem do losango.