Questão de Matemática · FGV BBTS 2023 (nº 26)

Para encontrar o maior valor de $x$ em uma equação que representa uma circunferência, primeiro precisamos reescrevê-la na forma padrão $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, onde $(h,k)$ é o centro e $r$ é o raio. O maior valor de $x$ será $h+r$.

Vamos rearranjar a equação dada:
$\frac{x^2+y^2}{2} = 3x+2y+18$

Multiplicamos ambos os lados por 2:
$x^2+y^2 = 6x+4y+36$

Agrupamos os termos de $x$ e $y$ e movemos a constante para o outro lado:
$x^2 - 6x + y^2 - 4y = 36$

Agora, completamos o quadrado para os termos de $x$ e de $y$. Para $x^2-6x$, adicionamos $(\frac{-6}{2})^2 = (-3)^2 = 9$. Para $y^2-4y$, adicionamos $(\frac{-4}{2})^2 = (-2)^2 = 4$. Lembre-se de adicionar esses valores também ao lado direito da equação para manter a igualdade:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) = 36 + 9 + 4$

Reescrevemos os termos como quadrados perfeitos:
$(x-3)^2 + (y-2)^2 = 49$

A partir desta forma padrão, identificamos que o centro da circunferência é $(h,k) = (3,2)$ e o raio é $r = \sqrt{49} = 7$.

Para qualquer ponto $(x,y)$ na circunferência, o valor de $x$ varia de $h-r$ a $h+r$.
O maior valor que $x$ pode assumir é $h+r = 3+7 = 10$.

(A) Incorreta: O valor 7 é o raio da circunferência. A armadilha aqui é confundir o raio com o maior valor de $x$, esquecendo que o centro da circunferência não está na origem, e que o maior valor de $x$ é a coordenada $x$ do centro mais o raio.
(B) Incorreta: O valor 8 não corresponde ao maior valor de $x$; seria o resultado de uma combinação incorreta dos parâmetros, como $h+r-k = 3+7-2=8$.
(C) Incorreta: O valor 9 não é o maior valor de $x$; pode ser o quadrado da coordenada $x$ do centro ($3^2=9$) ou outro erro de cálculo.
(D) Correta: O maior valor que $x$ pode assumir é a coordenada $x$ do centro ($h=3$) somada ao raio ($r=7$), resultando em $3+7=10$. **(E) Incorreta:** O valor 11 não é o maior valor de$x$; seria o resultado de um erro de soma ou confusão com o raio ou coordenadas do centro.