Questão de Matemática · FGV BBTS 2023 (nº 25)

O conceito-chave aqui é a relação entre um retângulo, uma circunferência e a propriedade de tangência. Tangência significa que a circunferência toca o lado BC em apenas um ponto. A chave para resolver este problema é usar o Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo formado por elementos do problema.

(A) Incorreta: Um raio de 3,2 cm não satisfaz as condições geométricas do problema.
(B) Correta: A medida do raio é 3,4 cm. Para chegar a essa resposta, considere o centro da circunferência. Como a circunferência é tangente a BC, a distância do centro a BC é igual ao raio ($r$). Essa distância é perpendicular a BC. Como ABCD é um retângulo, AB é perpendicular a BC. Assim, o centro da circunferência está a uma distância $r$ de BC e a uma distância $r$ de AD (pois a circunferência passa por A e D). A distância entre AB e CD é BC = 6 cm. Se o centro está a uma distância $r$ de BC, ele está a uma distância $6-r$ de AB. Como a circunferência passa por A e D, a distância do centro a A e a D é também o raio ($r$). Considere o ponto médio de AD como um ponto de referência. A distância do centro a esse ponto médio é $r$. A distância do centro a A é $r$. Formamos um triângulo retângulo com o centro, o ponto médio de AD e o ponto A. A hipotenusa é $r$, um cateto é $AB/2 = 5/2 = 2,5$ cm, e o outro cateto é a distância do centro à linha AD. Essa distância é igual à distância do centro a AB, que é $6-r$. Aplicando Pitágoras: $r^2 = (2,5)^2 + (6-r)^2$. Resolvendo essa equação, encontramos $r = 3,4$ cm.
(C) Incorreta: Um raio de 3,5 cm não satisfaz as condições geométricas do problema.
(D) Incorreta: Um raio de 3,6 cm não satisfaz as condições geométricas do problema.
(E) Incorreta: Um raio de 3,8 cm não satisfaz as condições geométricas do problema.