Questão de Matemática · FGV BBTS 2023 (nº 27)

Em geometria espacial, um prisma é um poliedro com duas bases poligonais idênticas e paralelas, conectadas por faces retangulares (ou paralelogramos). Uma pirâmide é um poliedro com uma base poligonal e um vértice comum para todas as outras faces triangulares. O número de faces (F), vértices (V) e arestas (A) de um poliedro estão relacionados pela Fórmula de Euler: $V - A + F = 2$.

Vamos analisar as relações entre faces, vértices e arestas para prismas e pirâmides.

Para um prisma de base com $n$ lados:

• Número de faces ($F_{prisma}$): 2 (bases) + $n$ (laterais) = $n+2$
• Número de vértices ($V_{prisma}$): $n$ (em cada base) * 2 = $2n$
• Número de arestas ($A_{prisma}$): $n$ (na base superior) + $n$ (na base inferior) + $n$ (laterais) = $3n$

Para uma pirâmide de base com $n$ lados:

• Número de faces ($F_{pirâmide}$): 1 (base) + $n$ (laterais) = $n+1$
• Número de vértices ($V_{pirâmide}$): $n$ (na base) + 1 (o vértice apical) = $n+1$
• Número de arestas ($A_{pirâmide}$): $n$ (na base) + $n$ (laterais) = $2n$

O problema afirma que o prisma e a pirâmide possuem o mesmo número de faces. Seja $n_p$ o número de lados da base do prisma e $n_{r}$ o número de lados da base da pirâmide.
$F_{prisma} = n_p + 2$
$F_{pirâmide} = n_r + 1$

Como $F_{prisma} = F_{pirâmide}$, temos:
$n_p + 2 = n_r + 1$
$n_p = n_r - 1$

Isso significa que a base do prisma tem um lado a menos que a base da pirâmide.

A razão entre os números de arestas do prisma e da pirâmide é $\frac{7}{5}$.
$A_{prisma} = 3n_p$
$A_{pirâmide} = 2n_r$

$\frac{A_{prisma}}{A_{pirâmide}} = \frac{3n_p}{2n_r} = \frac{7}{5}$

Agora, substituímos $n_p = n_r - 1$ na equação da razão:
$\frac{3(n_r - 1)}{2n_r} = \frac{7}{5}$

Multiplicamos cruzado:
$5 \times 3(n_r - 1) = 7 \times 2n_r$
$15(n_r - 1) = 14n_r$
$15n_r - 15 = 14n_r$
$15n_r - 14n_r = 15$
$n_r = 15$

Portanto, a base da pirâmide é um polígono de 15 lados.

Vamos verificar:
Se $n_r = 15$, então $n_p = n_r - 1 = 15 - 1 = 14$.
$F_{prisma} = n_p + 2 = 14 + 2 = 16$
$F_{pirâmide} = n_r + 1 = 15 + 1 = 16$ (As faces são iguais, ok!)

$A_{prisma} = 3n_p = 3 \times 14 = 42$
$A_{pirâmide} = 2n_r = 2 \times 15 = 30$

A razão das arestas é $\frac{A_{prisma}}{A_{pirâmide}} = \frac{42}{30}$. Simplificando por 6, obtemos $\frac{7}{5}$. (A razão está correta, ok!)

A pergunta é sobre o número de lados da base da pirâmide, que é $n_r$.

• (A) Incorreta: Se a base da pirâmide tivesse 13 lados ($n_r=13$), a base do prisma teria 12 lados ($n_p=12$). As faces seriam $13+1=14 e \12+2=14$. As arestas seriam$2 \times 13=26$e$3 \times 12=36$. A razão seria$\frac{36}{26} = \frac{18}{13} \neq \frac{7}{5}$.
• (B) Incorreta: Se a base da pirâmide tivesse 14 lados ($n_r=14$), a base do prisma teria 13 lados ($n_p=13$). As faces seriam $14+1=15 e \13+2=15$. As arestas seriam$2 \times 14=28$e$3 \times 13=39$. A razão seria$\frac{39}{28} \neq \frac{7}{5}$.
• (C) Correta: Se a base da pirâmide tem 15 lados ($n_r=15$), a base do prisma tem 14 lados ($n_p=14$). O número de faces é $15+1=16 para a pirâmide e \14+2=16$para o prisma. O número de arestas da pirâmide é$2 \times 15=30$e do prisma é$3 \times 14=42$. A razão das arestas é$\frac{42}{30} = \frac{7}{5}$, que é o valor dado no problema.
• (D) Incorreta: Se a base da pirâmide tivesse 16 lados ($n_r=16$), a base do prisma teria 15 lados ($n_p=15$). As faces seriam $16+1=17 e \15+2=17$. As arestas seriam$2 \times 16=32$e$3 \times 15=45$. A razão seria$\frac{45}{32} \neq \frac{7}{5}$.
• (E) Incorreta: Se a base da pirâmide tivesse 17 lados ($n_r=17$), a base do prisma teria 16 lados ($n_p=16$). As faces seriam $17+1=18 e \16+2=18$. As arestas seriam$2 \times 17=34$e$3 \times 16=48$. A razão seria$\frac{48}{34} = \frac{24}{17} \neq \frac{7}{5}$.

A armadilha mais comum aqui é confundir qual polígono tem $n$ lados. A relação $n_p = n_r - 1$ é crucial. Se você esquecer que a base do prisma tem um lado a menos que a base da pirâmide para igualar o número de faces, pode acabar calculando o número de lados da base do prisma e marcar uma alternativa errada. Por exemplo, se você calculasse $n_r=15$ e por engano pensasse que essa era a base do prisma, você estaria perdido. Lembre-se sempre de verificar qual poliedro está sendo perguntado no final.