Questão de Matemática · FGV BBTS 2023 (nº 24)

Para resolver inequações com frações (expressões com divisão e um sinal de desigualdade), é fundamental não multiplicar ambos os lados por uma expressão que contenha a variável sem antes analisar o sinal dessa expressão, pois isso pode inverter a desigualdade. O método correto é mover todos os termos para um lado e encontrar um denominador comum para analisar o sinal da expressão resultante.

• (A) Correta: O número de valores possíveis de $x$ é 10. A solução da inequação $\frac{2x+7}{x-2} > 3$ é obtida movendo o 3 para o lado esquerdo, resultando em $\frac{-x+13}{x-2} > 0$. Analisando os sinais do numerador e denominador, chegamos ao intervalo $2 < x < 13$. Como$xundefined3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$, totalizando 10 valores.
• (B) Incorreta: Esta alternativa surgiria se, por exemplo, o estudante incluísse $x=13$ (o que não é permitido pela desigualdade estrita $x < 13$) ou fizesse uma contagem incorreta.
• (C) Incorreta: Esta alternativa é um distrator comum. O estudante pode ter multiplicado a inequação por $x-2$ sem a devida análise de sinais, obtendo $x < 13$. Ao aplicar as condições $x \ge 0$ e $x \neq 2$, ele contaria os valores $0, 1, 3, 4, ..., 12$, que são 12 valores. A armadilha da banca aqui é não considerar a restrição$x > 2$ que surge da análise de sinais.
• (D) Incorreta: Esta alternativa é o distrator mais tentador. O estudante que multiplica a inequação por $x-2$ sem analisar o sinal, obtendo $x < 13$, e então aplica $x \ge 0$ mas esquece da restrição $x \neq 2$ (denominador nulo) e da condição $x > 2$ da análise de sinais. Ele contaria os valores $0, 1, 2, ..., 12$, que são 13 valores.
• (E) Incorreta: Esta alternativa surgiria se o estudante obtivesse $x \le 13$ (em vez de $x < 13$) e aplicasse $x \ge 0$ sem considerar $x \neq 2$, resultando em $0, 1, ..., 13$, que são 14 valores.