Questão de Matemática · FGV BBTS 2023 (nº 23)

Para resolver problemas como este, transformamos as informações do texto em equações matemáticas usando variáveis (letras que representam quantidades desconhecidas). Cada frase do problema nos dá uma pista para montar uma equação, e o objetivo é encontrar o valor da variável que representa o total de pessoas.

• (A) Incorreta: Esta alternativa não se alinha com as relações estabelecidas pelas condições do problema, que levam a uma estrutura $4n + \text{constante}$.
• (B) Incorreta: Semelhante à alternativa A, esta opção não é consistente com as equações derivadas das condições dadas para a fila.
• (C) Incorreta: Esta alternativa pode ser um distrator para quem não verifica a validade de todas as soluções. Se considerarmos o caso em que Pedro está à frente de João, as equações levariam a $T = -4n - 3$. Se um aluno ignorasse o sinal negativo (já que o número de pessoas não pode ser negativo) ou cometesse um pequeno erro de cálculo, poderia chegar a $4n+3$. No entanto, o número total de pessoas ($T$) deve ser sempre um valor positivo.
• (D) Correta: Vamos definir $T$ como o número total de pessoas na fila.
  1. Condição de Pedro: "há tantas pessoas na frente de Pedro quantas atrás dele."
     Se Pedro está na posição $P$, há $(P-1)$ pessoas à sua frente e $(T-P)$ pessoas atrás dele.
     Então, $P-1 = T-P \implies 2P = T+1 \implies P = \frac{T+1}{2}$.
     Isso significa que $T$ deve ser um número ímpar.
  2. Condição de João: "o número de pessoas atrás de João é o triplo do número de pessoas que está à frente dele."
     Se João está na posição $J$, há $(J-1)$ pessoas à sua frente e $(T-J)$ pessoas atrás dele.
     Então, $T-J = 3(J-1) \implies T-J = 3J-3 \implies T+3 = 4J \implies J = \frac{T+3}{4}$.
     Isso significa que $T+3$ deve ser divisível por 4. Como $T$ é ímpar, $T+3$ é par, o que é consistente.
  3. Condição entre João e Pedro: "há $n$ pessoas entre João e Pedro."
     Existem duas possibilidades para a ordem de João e Pedro:
     • Caso 1: João está antes de Pedro (J < P).
       O número de pessoas entre eles é $P - J - 1$.
       Então, $P - J - 1 = n \implies P - J = n+1$.
       Substituindo $P$ e $J$ pelas expressões em termos de $T$:
       $\frac{T+1}{2} - \frac{T+3}{4} = n+1$
       Multiplicando toda a equação por 4 para eliminar os denominadores:
       $2(T+1) - (T+3) = 4(n+1) \2T + 2 - T - 3 = 4n + 4$$T - 1 = 4n + 4$$T = 4n + 5$. Para verificar a consistência: se$n \ge 0$, então$J = \frac{(4n+5)+3}{4} = n+2$e$P = \frac{(4n+5)+1}{2} = 2n+3$. Como$n+2 < 2n+3$(pois$n > -1$), esta ordem é válida para$n \ge 0$.
     • Caso 2: Pedro está antes de João (P < J).
       O número de pessoas entre eles é $J - P - 1$.
       Então, $J - P - 1 = n \implies J - P = n+1$.
       Substituindo $P$ e $J$:
       $\frac{T+3}{4} - \frac{T+1}{2} = n+1$
       Multiplicando por 4:
       $(T+3) - 2(T+1) = 4(n+1)$
       $T + 3 - 2T - 2 = 4n + 4$
       $-T + 1 = 4n + 4$
       $-T = 4n + 3 \implies T = -4n - 3$.
       Como o número total de pessoas ($T$) não pode ser negativo (e $n \ge 0$), este caso é impossível.
       Portanto, a única solução válida é $T = 4n + 5$.
• (E) Incorreta: Esta alternativa não se encaixa nas relações matemáticas estabelecidas pelas condições do problema.