Questão de Matemática · FGV BBTS 2023 (nº 22)

Para resolver problemas de contagem com restrições de alternância, primeiro identificamos os tipos de elementos e suas quantidades. Depois, buscamos os padrões de alternância possíveis e, para cada padrão válido, calculamos as permutações dos elementos dentro de seus grupos.

A palavra BANCO tem 5 letras:

• Vogais (V): A, O (2 vogais)
• Consoantes (C): B, N, C (3 consoantes)

A restrição é que "não há duas vogais juntas nem duas consoantes juntas". Isso significa que as letras devem se alternar entre vogal e consoante.

Existem dois padrões possíveis para a alternância de 5 letras:

1. C V C V C: Começa com consoante e termina com consoante.

   • Neste padrão, temos 3 posições para consoantes e 2 posições para vogais.
   • Como temos 3 consoantes (B, N, C), elas podem ser arranjadas de $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ maneiras nas posições de consoantes.
   • Como temos 2 vogais (A, O), elas podem ser arranjadas de $2! = 2 \times 1 = 2$ maneiras nas posições de vogais.
   • O número total de anagramas para este padrão é $3! \times 2! = 6 \times 2 = 12$.

2. V C V C V: Começa com vogal e termina com vogal.

   • Neste padrão, teríamos 3 posições para vogais e 2 posições para consoantes.
   • No entanto, só temos 2 vogais (A, O). Não é possível preencher 3 posições de vogais com apenas 2 vogais distintas. Portanto, este padrão é impossível com as letras da palavra BANCO.

Como apenas o padrão C V C V C é possível, o número total de anagramas que satisfazem a condição é 12.

(A) Incorreta: Esta alternativa (6) seria o resultado de permutar apenas as consoantes ($3!$) ou, incorretamente, de permutar as vogais se houvesse 3 vogais. Ignora a permutação do outro grupo de letras ou a restrição completa. **(B) Incorreta:** Não há um cálculo direto que leve a 10 anagramas sob as condições dadas. **(C) Correta:** O cálculo correto é$3! \times 2! = 6 \times 2 = 12$. Este valor representa o número de maneiras de arranjar as 3 consoantes nas 3 posições de consoantes e as 2 vogais nas 2 posições de vogais, para o único padrão de alternância possível (CVCVC). **(D) Incorreta:** Não há um cálculo direto que leve a 18 anagramas sob as condições dadas. **(E) Incorreta:** Esta alternativa (24) é um **distrator comum**. Ela seria obtida se o aluno considerasse que ambos os padrões (CVCVC e VCVCV) fossem possíveis e, para cada um, calculasse$3! \times 2!$, somando ou multiplicando por 2 o resultado ($12 \times 2 = 24$). A armadilha é não perceber que o padrão VCVCV é impossível, pois a palavra BANCO possui apenas 2 vogais e o padrão VCVCV exigiria 3 posições para vogais.