Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV BBTS 2023 (nº 19)

A distância do taxista (ou distância de Manhattan) entre dois pontos é a soma das distâncias absolutas entre suas coordenadas $x$ e suas coordenadas $y$. Imagine um táxi em uma cidade com ruas em grade: ele só pode se mover horizontal ou verticalmente, não na diagonal.

Para encontrar os pontos $(x, y)$ com coordenadas inteiras cuja distância do taxista à origem $(0, 0)$ é 10, precisamos resolver a equação:
$|x - 0| + |y - 0| = 10$
Isso simplifica para:
$|x| + |y| = 10$

Vamos listar os pontos:

1. Pontos nos eixos coordenados:

   • Se $x=0$: $|0| + |y| = 10 \implies |y|=10 \implies y=10$ ou $y=-10$. Pontos: $(0, 10)$ e $(0, -10)$.
   • Se $y=0$: $|x| + |0| = 10 \implies |x|=10 \implies x=10$ ou $x=-10$. Pontos: $(10, 0)$ e $(-10, 0)$.
     Temos 4 pontos nos eixos.

2. Pontos nos quadrantes (onde $x \neq 0$ e $y \neq 0$):

   • Primeiro Quadrante ($x>0, y>0$): $x+y=10$. Os pares de inteiros são $(1,9), (2,8), \dots, (9,1)$. Há 9 pontos.
   • Segundo Quadrante ($x<0, y>0$): $-x+y=10$. Os pares de inteiros são $(-1,9), (-2,8), \dots, (-9,1)$. Há 9 pontos.
   • Terceiro Quadrante ($x<0, y<0$): $-x-y=10 \implies x+y=-10$. Os pares de inteiros são $(-1,-9), (-2,-8), \dots, (-9,-1)$. Há 9 pontos.
   • Quarto Quadrante ($x>0, y<0$): $x-y=10$. Os pares de inteiros são $(1,-9), (2,-8), \dots, (9,-1)$. Há 9 pontos.
     Temos $9 \times 4 = 36$ pontos nos quadrantes.

O número total de pontos é a soma dos pontos nos eixos e nos quadrantes: $4 + 36 = 40$. Uma forma mais rápida de visualizar isso é que a equação$|x| + |y| = N forma um "diamante" (um quadrado rotacionado 45 graus) no plano cartesiano. O número de pontos com coordenadas inteiras na fronteira desse diamante é \4N$. Neste caso, $N=10$, então $4 \times 10 = 40$.

(A) Incorreta: 30 não corresponde ao cálculo correto dos pontos.
(B) Incorreta: 32 não corresponde ao cálculo correto dos pontos.
(C) Incorreta: 36 é o número de pontos apenas nos quadrantes (onde $x \ne 0$ e $y \ne 0$). A armadilha aqui é esquecer de contar os 4 pontos que estão sobre os eixos coordenados, como $(10,0)$ e $(0,10)$.
(D) Incorreta: 38 não corresponde ao cálculo correto dos pontos.
(E) Correta: O número de pontos com coordenadas inteiras que satisfazem $|x| + |y| = 10$ é 40. Isso inclui 4 pontos nos eixos coordenados (como $(10,0)$ e $(0,10)$) e 36 pontos distribuídos igualmente pelos quatro quadrantes (9 em cada um, como $(1,9)$ e $(-1,-9)$), totalizando 40 pontos.