Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV BBTS 2023 (nº 18)

O Princípio Multiplicativo nos diz que, se um evento pode ocorrer de $m$ maneiras e outro evento pode ocorrer de $n$ maneiras, então os dois eventos juntos podem ocorrer de $m \times n$ maneiras. Em outras palavras, para cada escolha em um passo, temos todas as escolhas disponíveis no próximo passo.

(A) Incorreta: Este valor não representa a contagem correta dos resultados que satisfazem a condição.
(B) Incorreta: Este valor não corresponde ao número de sequências onde o produto não é divisível por 4.
(C) Incorreta: Este número é uma contagem incorreta para o problema proposto.
(D) Incorreta: Este valor não é o resultado correto da aplicação do princípio multiplicativo com a restrição dada.
(E) Correta: O número total de resultados possíveis ao lançar um dado 4 vezes é $6 \times 6 \times 6 \times 6 = 6^4 = 1296$. Para que o produto dos 4 números sorteados não seja divisível por 4, precisamos analisar os casos em que isso ocorre. O produto não será divisível por 4 se:

1. Nenhum dos números sorteados for par (todos ímpares). Há 3 números ímpares (1, 3, 5) em cada lançamento. Assim, $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$ resultados.
2. Exatamente um dos números for 2 e os outros três forem ímpares. Há 4 posições para o número 2, e para cada posição, há 3 escolhas de números ímpares para os outros 3 lançamentos. Assim, $4 \times (1 \times 3 \times 3 \times 3) = 4 \times 27 = 108$ resultados.
3. Exatamente dois dos números forem 2 e os outros dois forem ímpares. Há $\binom{4}{2} = 6$ maneiras de escolher as posições dos dois 2s. Para cada escolha, há $3 \times 3 = 9$ maneiras de escolher os números ímpares. Assim, $6 \times (1 \times 1 \times 3 \times 3) = 6 \times 9 = 54$ resultados.
4. Exatamente três dos números forem 2 e o outro for ímpar. Há $\binom{4}{3} = 4$ maneiras de escolher as posições dos três 2s. Para cada escolha, há 3 maneiras de escolher o número ímpar. Assim, $4 \times (1 \times 1 \times 1 \times 3) = 4 \times 3 = 12$ resultados.

Somando esses casos: $81 + 108 + 54 + 12 = 255$.

A armadilha da banca aqui é pensar que basta subtrair os casos em que o produto é divisível por 4 do total. No entanto, a forma mais direta e menos propensa a erros é contar os casos onde o produto não é divisível por 4, como feito acima.

Refazendo a análise para garantir a correção e o gabarito:

O produto de quatro números não é divisível por 4 se:

1. Todos os números são ímpares: As faces ímpares são {1, 3, 5}. Para cada um dos 4 lançamentos, temos 3 opções. Total: $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$.
2. Um número é 2 e os outros três são ímpares: Há 4 posições para o número 2. Para as outras 3 posições, temos 3 opções ímpares cada. Total: $4 \times (1 \times 3 \times 3 \times 3) = 4 \times 27 = 108$.
3. Dois números são 2 e os outros dois são ímpares: Há $\binom{4}{2} = 6$ maneiras de escolher as posições dos dois 2s. Para as outras 2 posições, temos 3 opções ímpares cada. Total: $6 \times (1 \times 1 \times 3 \times 3) = 6 \times 9 = 54$.
4. Três números são 2 e o outro é ímpar: Há $\binom{4}{3} = 4$ maneiras de escolher as posições dos três 2s. Para a outra posição, temos 3 opções ímpares. Total: $4 \times (1 \times 1 \times 1 \times 3) = 4 \times 3 = 12$.

A soma desses casos é $81 + 108 + 54 + 12 = 255$.

Revisando o gabarito e a questão:

A questão pede o número de resultados onde o produto não é divisível por 4.
O gabarito oficial é E) 297.
Isso sugere que minha contagem direta pode ter um erro ou que a interpretação do problema é diferente.

Vamos pensar no complementar: o número de resultados onde o produto é divisível por 4.
Total de resultados = $6^4 = 1296$.
O produto é divisível por 4 se:

• Há pelo menos um número 4.
• Há pelo menos dois números 2.
• Há um número 2 e um número 6.
• Há um número 6 e um número 2.

Isso se torna mais complexo de contar diretamente.

Vamos reavaliar a contagem para o produto não ser divisível por 4.
O produto não é divisível por 4 se:

• Todos os números são ímpares (1, 3, 5). $3^4 = 81$.
• Um número é 2, e os outros três são ímpares. $4 \times 1 \times 3^3 = 4 \times 27 = 108$.
• Dois números são 2, e os outros dois são ímpares. $\binom{4}{2} \times 1^2 \times 3^2 = 6 \times 9 = 54$.
• Três números são 2, e o outro é ímpar. $\binom{4}{3} \times 1^3 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$.

A soma continua sendo $81 + 108 + 54 + 12 = 255$.

Considerando a possibilidade de o gabarito estar correto e minha contagem estar errada:

Se o gabarito é 297, então $1296 - 297 = 999$ resultados têm o produto divisível por 4.

Vamos pensar nos números que garantem divisibilidade por 4:

• O número 4.
• O número 6 (que é $2 \times 3$).

Se um 4 aparece, o produto é divisível por 4.
Se dois 2s aparecem, o produto é divisível por 4.
Se um 2 e um 6 aparecem, o produto é divisível por 4.

Vamos tentar a contagem do complementar novamente, com mais cuidado.

O produto não é divisível por 4 se:

1. Todos os números são ímpares: {1, 3, 5}. $3^4 = 81$.
2. Um número é 2, e os outros três são ímpares: O número 2 é o único fator 2. O produto terá um fator 2, mas não dois. Posições para o 2: 4. Escolhas ímpares: $3^3$. Total: $4 \times 1 \times 3^3 = 108$.
3. Dois números são 2, e os outros dois são ímpares: O produto terá dois fatores 2. Posições para os 2s: $\binom{4}{2} = 6$. Escolhas ímpares: $3^2$. Total: $6 \times 1^2 \times 3^2 = 54$.
4. Três números são 2, e o outro é ímpar: O produto terá três fatores 2. Posições para os 2s: $\binom{4}{3} = 4$. Escolha ímpar: $3^1$. Total: $4 \times 1^3 \times 3^1 = 12$.

A soma é $81 + 108 + 54 + 12 = 255$.

Existe uma outra interpretação que leva a 297?

Se o produto não é divisível por 4, isso significa que o número de fatores 2 na decomposição em primos do produto é 0 ou 1.

Fatores 2 em cada face do dado:

• 1: $2^0$
• 2: $2^1$
• 3: $2^0$
• 4: $2^2$
• 5: $2^0$
• 6: $2^1$

Faces com fator 2: {2, 6} (2 faces)
Faces com fator 4 (ou $2^2$): {4} (1 face)
Faces com fator 0 (ímpares): {1, 3, 5} (3 faces)

Contagem para o produto NÃO ser divisível por 4:
O produto não é divisível por 4 se a contagem de fatores 2 no produto é 0 ou 1.

Caso 1: 0 fatores 2 (todos ímpares)
Todos os 4 lançamentos devem ser de faces ímpares {1, 3, 5}.
Número de resultados: $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$.

Caso 2: 1 fator 2
Isso significa que exatamente um dos lançamentos resulta em um número com um fator 2 (ou seja, 2 ou 6), e os outros três lançamentos resultam em números ímpares (1, 3, 5).

• Escolha a posição do número com um fator 2: $\binom{4}{1} = 4$ maneiras.
• Escolha o número com um fator 2: {2, 6} (2 opções).
• Escolha os números ímpares para as outras 3 posições: $3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$ opções.

Número de resultados: $4 \times 2 \times 27 = 8 \times 27 = 216$.

Total de resultados onde o produto NÃO é divisível por 4:
$81 (0 fatores 2) + \216 (1 fator 2) = \297$.

(E) Correta: O número total de resultados possíveis ao lançar um dado 4 vezes é $6^4 = 1296$. Para que o produto dos 4 números sorteados não seja divisível por 4, a quantidade total de fatores 2 na decomposição em primos do produto deve ser 0 ou 1.

1. Zero fatores 2: Todos os 4 lançamentos devem ser de números ímpares ({1, 3, 5}). Há 3 opções para cada lançamento, então $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$ resultados.
2. Um fator 2: Exatamente um dos lançamentos resulta em um número com um fator 2 ({2, 6}), e os outros três lançamentos resultam em números ímpares ({1, 3, 5}).
   • Escolha qual dos 4 lançamentos resultará no número com um fator 2: $\binom{4}{1} = 4$ maneiras.
   • Escolha qual número com um fator 2 será sorteado: 2 opções ({2, 6}).
   • Para os outros 3 lançamentos, escolha um número ímpar: $3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$ opções.
   • Total para este caso: $4 \times 2 \times 27 = 216$ resultados.

Somando os dois casos: $81 + 216 = 297$. A armadilha comum é não considerar corretamente a contagem de fatores 2, ou se perder na contagem dos casos onde o produto é divisível por 4, que é mais complexa.