Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV BBTS 2023 (nº 17)

A probabilidade de um evento é a chance de ele ocorrer, calculada dividindo o número de resultados favoráveis (o que queremos que aconteça) pelo número total de resultados possíveis (todas as opções). Em problemas com urnas, isso geralmente significa a razão entre o número de bolas de um tipo específico e o número total de bolas na urna.

(A) Incorreta: Se houvesse 10 bolas pretas, a primeira condição ($P(\text{vermelha}) = 2/5$) levaria a $V/(10+V) = 2/5 \Rightarrow 5V = 20+2V \Rightarrow 3V=20 \Rightarrow V=20/3$, que não é um número inteiro de bolas, o que é impossível.
(B) Incorreta: Se houvesse 12 bolas pretas, a primeira condição ($V/(12+V) = 2/5$) levaria a $5V = 24+2V \Rightarrow 3V=24 \Rightarrow V=8$ bolas vermelhas inicialmente. Após adicionar 10 bolas vermelhas, teríamos 12 pretas e $8+10=18 vermelhas, totalizando 30 bolas. A probabilidade de sortear uma bola preta seria \12/30 = 2/5, e não \3/7$como estabelecido na segunda condição. Esta é a **armadilha da banca**, pois o valor de$P=12$permite um número inteiro de bolas vermelhas na primeira situação, mas falha na segunda condição. **(C) Incorreta:** Se houvesse 14 bolas pretas, a primeira condição ($V/(14+V) = 2/5$) levaria a$5V = 28+2V \Rightarrow 3V=28 \Rightarrow V=28/3$, que não é um número inteiro de bolas, o que é impossível. **(D) Correta:** Seja$P$o número de bolas pretas e$V$ o número de bolas vermelhas inicialmente.

1. Primeira condição: A probabilidade de uma bola vermelha ser sorteada é $\frac{2}{5}$.
   $\frac{V}{P+V} = \frac{2}{5} \Rightarrow 5V = 2(P+V) \Rightarrow 5V = 2P + 2V \Rightarrow 3V = 2P$.
   Isso nos permite expressar $V$ em termos de $P$: $V = \frac{2P}{3}$.
2. Segunda condição: Adicionamos 10 bolas vermelhas. O número de bolas pretas continua $P$, e o de vermelhas passa a ser $V+10$. O total de bolas na urna é $P + (V+10)$. A probabilidade de uma bola preta ser sorteada é $\frac{3}{7}$.
   $\frac{P}{P+(V+10)} = \frac{3}{7}$.
   Agora, substituímos $V = \frac{2P}{3}$ nesta equação:
   $\frac{P}{P + \frac{2P}{3} + 10} = \frac{3}{7}$
   Para simplificar o denominador, somamos $P + \frac{2P}{3} = \frac{3P+2P}{3} = \frac{5P}{3}$:
   $\frac{P}{\frac{5P}{3} + 10} = \frac{3}{7}$
   Multiplicamos em cruz:
   $7P = 3 \left( \frac{5P}{3} + 10 \right)$
   Distribuímos o 3 no lado direito:
   $7P = 3 \cdot \frac{5P}{3} + 3 \cdot 10$
   $7P = 5P + 30undefined5P$ de ambos os lados:
   $7P - 5P = 30 \2P = 30$Dividimos por 2:$P = 15$. Portanto, o número de bolas pretas na urna é 15. **(E) Incorreta:** Se houvesse 20 bolas pretas, a primeira condição ($V/(20+V) = 2/5$) levaria a$5V = 40+2V \Rightarrow 3V=40 \Rightarrow V=40/3$, que não é um número inteiro de bolas, o que é impossível.