Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV BBTS 2023 (nº 15)

Para dividir potências, o conceito-chave é sempre trabalhar com a mesma base. Se as bases são diferentes, o primeiro passo é transformá-las para a menor base comum, que geralmente é um número primo. Depois, aplicamos as propriedades de potências, como a de "potência de potência" ($(a^m)^n = a^{m \times n}$) e a de "divisão de potências de mesma base" ($\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).

Vamos resolver:
Temos $N = 8^{2023}$ e queremos calcular $\dfrac{N}{32}$.

1. Transformar as bases para a menor base comum (base 2):

   • $8 = 2^3$
   • 32 = 2^5\

2. Reescrever N na base 2:

   • $N = 8^{2023} = (2^3)^{2023}$
   • Aplicando a propriedade de potência de potência: N = 2^{3 \times 2023} = 2^{6069}\

3. Realizar a divisão:

   • $\dfrac{N}{32} = \dfrac{2^{6069}}{2^5}$
   • Aplicando a propriedade de divisão de potências de mesma base: $\dfrac{2^{6069}}{2^5} = 2^{6069 - 5} = 2^{6064}$

Nosso resultado é $2^{6064}$. Agora, vamos verificar qual alternativa corresponde a esse valor, transformando todas as alternativas para a base 2.

• (A) Incorreta: $2^{2018}$. Nosso resultado é $2^{6064}$, que é diferente de $2^{2018}$.
• (B) Correta: $4^{3032}$. Para comparar, transformamos para a base 2: $4^{3032} = (2^2)^{3032} = 2^{2 \times 3032} = 2^{6064}$. Este valor é exatamente o que encontramos.
• (C) Incorreta: $8^{2018}$. Transformando para a base 2: $8^{2018} = (2^3)^{2018} = 2^{3 \times 2018} = 2^{6054}$. Este valor é diferente de $2^{6064}$. A armadilha da banca aqui é que $2018 = 2023 - 5$. Um erro comum é pensar que, como$32 = 2^5$, basta subtrair 5 do expoente da base 8, resultando em$8^{2018}$. Isso está errado porque a regra de subtrair expoentes só vale se as bases são iguais, e 32 não é uma potência inteira de 8. É fundamental converter tudo para a mesma base antes de subtrair os expoentes.
• (D) Incorreta: $16^{1564}$. Transformando para a base 2: $16^{1564} = (2^4)^{1564} = 2^{4 \times 1564} = 2^{6256}$. Este valor é diferente de $2^{6064}$.
• (E) Incorreta: $32^{758}$. Transformando para a base 2: $32^{758} = (2^5)^{758} = 2^{5 \times 758} = 2^{3790}$. Este valor é diferente de $2^{6064}$.