Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV BBTS 2023 (nº 13)

A raiz quadrada de um número real, $\sqrt{x}$, só existe se $x$ for não negativo ($x \geq 0$). Além disso, o resultado de uma raiz quadrada é sempre um número não negativo. Para a igualdade $\sqrt{a^2 - b^2} = a - b$ ser verdadeira, duas condições devem ser satisfeitas: 1) o termo dentro da raiz deve ser não negativo ($a^2 - b^2 \geq 0$), e 2) o lado direito da igualdade deve ser não negativo ($a - b \geq 0$).

• (A) Incorreta: A igualdade é verdadeira em vários casos, por exemplo, se $a=b$, temos $0=0$.
• (B) Incorreta: Esta é a principal armadilha. A condição $a \geq b$ é necessária para que o lado direito ($a-b$) seja não negativo e para que a raiz possa existir (juntamente com $a+b \geq 0$). No entanto, não é suficiente; por exemplo, se $a=1$ e $b=-3$, $a \geq b$ é verdadeiro, mas $\sqrt{1^2 - (-3)^2} = \sqrt{1-9} = \sqrt{-8}$, que não é um número real.
• (C) Incorreta: Esta condição ($b=0$ e $a>0$) é apenas um subconjunto das condições em que a igualdade é verdadeira, pois não inclui o caso em que $a=b$.
• (D) Correta: A igualdade é verdadeira se, e somente se, $a=b$ (neste caso, ambos os lados são 0) ou se $b=0$ e $a \geq 0$ (neste caso, $\sqrt{a^2} = a \implies |a|=a$, o que exige $a \geq 0$). A opção $a>0$ em vez de $a \geq 0$ para o segundo caso ainda torna a alternativa correta, pois o caso $a=0, b=0$ já é coberto pela condição $a=b$.
• (E) Incorreta: A igualdade não é sempre verdadeira; por exemplo, se $a=5$ e $b=3$, $\sqrt{5^2-3^2} = \sqrt{16} = 4$, mas $a-b = 5-3 = 2$, e $4 \neq 2$.