Questão de Raciocínio Lógico · FGV BANESTES 2021 (nº 34)

Para resolver este problema, precisamos entender os conceitos de média e mediana. A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. A mediana é o valor do meio em um conjunto de dados ordenado; se houver um número ímpar de valores, é o valor central.

Vamos representar os 5 números reais em ordem não decrescente como $x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5$.

1. Mediana: Como são 5 números, a mediana é o terceiro número ($x_3$).
   Dado que a mediana é 23, temos $x_3 = 23$.
   Assim, a ordem dos números é $x_1 \le x_2 \le 23 \le x_4 \le x_5$.

2. Média: A soma dos 5 números é $5 \times \text{média}$.
   Dado que a média é 17, a soma é $5 \times 17 = 85$.
   Então, $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 85$.
   Substituindo $x_3 = 23$:
   $x_1 + x_2 + 23 + x_4 + x_5 = 85$
   $x_1 + x_2 + x_4 + x_5 = 62$.

Nosso objetivo é encontrar o valor mínimo da diferença entre o maior e o menor desses números, ou seja, minimizar $x_5 - x_1$. Para minimizar essa diferença, precisamos que $x_1$ seja o maior valor possível e $x_5$ seja o menor valor possível, respeitando todas as condições.

Para "comprimir" os números o máximo possível em torno da mediana e, assim, minimizar a diferença $x_5 - x_1$, a estratégia é fazer com que os números se aproximem uns dos outros. Isso é alcançado fazendo $x_1 = x_2$ e $x_4 = x_5$.

Com essa estratégia, os números seriam $x_1, x_1, 23, x_5, x_5$.
Agora, aplicamos a soma:
$x_1 + x_1 + 23 + x_5 + x_5 = 85$
$2x_1 + 2x_5 + 23 = 85$
$2x_1 + 2x_5 = 62$
$x_1 + x_5 = 31$.

Precisamos também respeitar as condições de ordem em relação à mediana:

• $x_1 \le x_2 \le 23 \implies x_1 \le 23$ (já que $x_1 = x_2$)
• $23 \le x_4 \le x_5 \implies x_5 \ge 23$ (já que $x_4 = x_5$)

Temos o sistema:

1. x_1 + x_5 = 31\
2. x_1 \le 23\
3. $x_5 \ge 23$

Da equação (1), podemos expressar $x_1$ em termos de $x_5$: $x_1 = 31 - x_5$.
Substituindo na condição (3):
$31 - x_5 \le 23$
$-x_5 \le 23 - 31$
$-x_5 \le -8$
$x_5 \ge 8$.
Essa condição ($x_5 \ge 8$) é mais fraca que $x_5 \ge 23$, então mantemos $x_5 \ge 23$.

Agora, expressamos $x_5$ em termos de $x_1$: $x_5 = 31 - x_1$.
Substituindo na condição (3):
$31 - x_1 \ge 23$
$-x_1 \ge 23 - 31$
$-x_1 \ge -8$
$x_1 \le 8$.
Essa condição ($x_1 \le 8$) é mais restritiva que $x_1 \le 23$, então usamos $x_1 \le 8$.

Para minimizar a diferença $x_5 - x_1$, substituímos $x_5 = 31 - x_1$:
Diferença $= (31 - x_1) - x_1 = 31 - 2x_1$.
Para minimizar $31 - 2x_1$, precisamos maximizar $x_1$.
O maior valor possível para $x_1$ que satisfaz $x_1 \le 8$ é $x_1 = 8$.

Se $x_1 = 8$, então $x_5 = 31 - 8 = 23$.
Verificando as condições:

• $x_1 = 8 \le 23$ (OK)
• $x_5 = 23 \ge 23$ (OK)
• A sequência de números seria $8, 8, 23, 23, 23$.
• Mediana: 23 (OK)
• Média: $(8+8+23+23+23)/5 = 85/5 = 17$ (OK)

A diferença entre o maior e o menor número é $x_5 - x_1 = 23 - 8 = 15$.

Comentário do distrator mais tentador:
Uma armadilha comum é tentar "apertar" os números fazendo $x_2 = x_3 = 23$ e $x_4 = x_3 = 23$. Nesse caso, os números seriam $x_1, 23, 23, 23, x_5$.
A soma seria $x_1 + 23 + 23 + 23 + x_5 = 85 \implies x_1 + 69 + x_5 = 85 \implies x_1 + x_5 = 16$.
Com as restrições $x_1 \le 23$ e $x_5 \ge 23$:
Para minimizar $x_5 - x_1 = (16 - x_1) - x_1 = 16 - 2x_1$, precisaríamos maximizar $x_1$.
De $x_1 + x_5 = 16$ e $x_5 \ge 23$, temos $x_1 = 16 - x_5 \le 16 - 23 = -7$.
Então, o maior valor possível para $x_1$ seria $-7$.
Se $x_1 = -7$, então $x_5 = 16 - (-7) = 23$.
A sequência de números seria $-7, 23, 23, 23, 23$.
A diferença seria $23 - (-7) = 30$. Essa é uma diferença maior que 15. A armadilha é pensar que igualar os números adjacentes à mediana à própria mediana sempre minimiza o intervalo, mas isso pode forçar o menor número a ser muito pequeno (negativo), aumentando o intervalo total. A estratégia correta para minimizar o intervalo é fazer os números externos ($x_1$e$x_5$) se aproximarem o máximo possível da mediana, o que implica em$x_1=x_2$e$x_4=x_5$.

(A) Incorreta: Não é o valor mínimo encontrado.
(B) Incorreta: Não é o valor mínimo encontrado.
(C) Incorreta: Não é o valor mínimo encontrado.
(D) Incorreta: Não é o valor mínimo encontrado.
(E) Correta: O valor mínimo da diferença é 15, obtido com a sequência de números $8, 8, 23, 23, 23$.