Questão de Raciocínio Lógico · FGV BANESTES 2021 (nº 32)

A análise combinatória nos ajuda a contar e organizar elementos de um conjunto, como as bolinhas, em diferentes arranjos (grupinhos). Para resolver este problema, usamos a contagem por categorias, onde separamos as bolinhas e os grupinhos em tipos (par, ímpar, ou misto) e usamos as informações dadas para deduzir as quantidades desconhecidas.

Dados do problema:

• Total de bolinhas: 222
• Bolinhas pares (P): 87
• Bolinhas ímpares (I): $222 - 87 = 135$
• Total de grupinhos: 111 (cada grupinho tem 2 bolinhas)
• Grupinhos com duas bolinhas ímpares (I, I): 37

Cálculo:

1. Bolinhas ímpares usadas nos grupinhos (I, I): $37 \text{ grupinhos} \times 2 \text{ bolinhas/grupinho} = 74$ bolinhas ímpares.
2. Bolinhas ímpares restantes: $135 \text{ (total de ímpares)} - 74 \text{ (usadas)} = 61$ bolinhas ímpares.
3. Essas 61 bolinhas ímpares restantes só podem ser usadas para formar grupinhos mistos (uma bolinha par e uma ímpar), pois não há bolinhas ímpares suficientes para formar mais grupinhos (I, I). Portanto, há 61 grupinhos do tipo (I, P).
4. Bolinhas pares usadas nos grupinhos (I, P): $61 \text{ grupinhos} \times 1 \text{ bolinha par/grupinho} = 61$ bolinhas pares.
5. Bolinhas pares restantes: $87 \text{ (total de pares)} - 61 \text{ (usadas)} = 26$ bolinhas pares.
6. Essas 26 bolinhas pares restantes só podem ser usadas para formar grupinhos com duas bolinhas pares (P, P).
7. Número de grupinhos (P, P): $26 \text{ bolinhas pares} \div 2 \text{ bolinhas/grupinho} = 13$ grupinhos.

(A) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se considerássemos que os 111 grupinhos totais, ao subtrair os 37 grupinhos de bolinhas ímpares, resultariam em 74 grupinhos de bolinhas pares. No entanto, essa abordagem ignora a existência de grupinhos mistos (uma bolinha par e uma ímpar), que consomem tanto bolinhas pares quanto ímpares. Se houvesse 74 grupinhos de bolinhas pares, seriam necessárias $74 \times 2 = 148$ bolinhas pares, mas Alda possui apenas 87 bolinhas pares, o que torna essa opção impossível. (Armadilha da banca: erro comum de não considerar os grupinhos mistos)
(B) Incorreta: Se houvesse 61 grupinhos de bolinhas pares, seriam necessárias $61 \times 2 = 122$ bolinhas pares, o que excede o total de 87 bolinhas pares disponíveis.
(C) Incorreta: Se houvesse 48 grupinhos de bolinhas pares, seriam necessárias $48 \times 2 = 96$ bolinhas pares, o que excede o total de 87 bolinhas pares disponíveis.
(D) Incorreta: Se houvesse 27 grupinhos de bolinhas pares, seriam necessárias $27 \times 2 = 54$ bolinhas pares. Embora o número de bolinhas pares seja suficiente, essa quantidade não se alinha com o cálculo correto que considera todos os tipos de grupinhos e bolinhas.
(E) Correta: Conforme o cálculo detalhado acima, após contabilizar as bolinhas ímpares e os grupinhos mistos, restam 26 bolinhas pares, que formam 13 grupinhos de duas bolinhas pares.