Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV ALESC 2024 (nº 29)

A equivalência lógica de uma sentença condicional "Se P, então Q" significa encontrar outra sentença que tenha o mesmo valor de verdade em todas as situações. Uma das equivalências mais importantes é a forma disjuntiva "Não P ou Q".

Vamos definir as proposições da sentença original:
$P$: "$X \leq 6$ e $Y > 4$"
$Q$: "$X - Y \leq 2$"
A sentença dada é $P \rightarrow Q$.

Agora, vamos encontrar as negações de $P$ e $Q$:
$\neg P$: "Não ($X \leq 6$ e $Y > 4$)"
Pela Lei de De Morgan, $\neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B$.
Então, $\neg P$: "($X > 6$ ou $Y \leq 4$)"

$\neg Q$: "Não ($X - Y \leq 2$)"
Então, $\neg Q$: "$X - Y > 2$"

A equivalência lógica fundamental que usaremos é $P \rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q$.

(A) Incorreta: Esta é a forma "Se $A$, então $B$", onde $A$ é "$X > 6$ e $Y \leq 4$" e $B$ é "$X - Y > 2$". Não corresponde a uma equivalência padrão da condicional original.
(B) Incorreta: Esta é a conversa da sentença original ($Q \rightarrow P$), que não é logicamente equivalente à condicional original ($P \rightarrow Q$).
(C) Incorreta: Esta é a inversa da sentença original ($\neg P \rightarrow \neg Q$), que não é logicamente equivalente à condicional original ($P \rightarrow Q$). A armadilha aqui é confundir a inversa com a contrapositiva ($\neg Q \rightarrow \neg P$), que esta sim é logicamente equivalente à original.
(D) Correta: A sentença condicional "$P \rightarrow Q$" é logicamente equivalente à disjunção "$\neg P \lor Q$". Substituindo $\neg P$ por "($X > 6$ ou $Y \leq 4$)" e $Q$ por "($X - Y \leq 2$)", obtemos a equivalência "($X > 6$ ou $Y \leq 4$) ou ($X - Y \leq 2$)", que corresponde à alternativa.
(E) Incorreta: Esta é uma disjunção da forma "$A \lor Q$", onde $A$ é "$X > 6$ e $Y \leq 4$". Esta forma não corresponde à equivalência "$\neg P \lor Q$" porque $A$ não é $\neg P$.