Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV ALESC 2024 (nº 27)

Uma sequência é uma lista ordenada de números que segue uma regra específica para gerar cada termo a partir do anterior. Para termos muito distantes, o truque é encontrar um padrão de repetição (chamado periodicidade).

Vamos gerar os primeiros termos da sequência:
A regra é: o próximo termo é o algarismo das unidades de $2x+1$.$a_1 = 6$$a_2 = \text{unidades de } (2 \times 6 + 1) = \text{unidades de } (12 + 1) = \text{unidades de } 13 = 3$$a_3 = \text{unidades de } (2 \times 3 + 1) = \text{unidades de } (6 + 1) = \text{unidades de } 7 = 7$$a_4 = \text{unidades de } (2 \times 7 + 1) = \text{unidades de } (14 + 1) = \text{unidades de } 15 = 5$$a_5 = \text{unidades de } (2 \times 5 + 1) = \text{unidades de } (10 + 1) = \text{unidades de } 11 = 1$$a_6 = \text{unidades de } (2 \times 1 + 1) = \text{unidades de } (2 + 1) = \text{unidades de } 3 = 3$

A sequência é: $6, 3, 7, 5, 1, 3, 7, 5, 1, \dots$
Percebemos que o primeiro termo ($a_1=6$) é único. A partir do segundo termo, a sequência se repete: $(3, 7, 5, 1)$.
O período (bloco que se repete) é $(3, 7, 5, 1)$ e tem comprimento 4.

Queremos o 2024º termo ($a_{2024}$).
Como o primeiro termo é diferente, precisamos encontrar a posição do 2024º termo dentro do ciclo de repetição, ignorando o $a_1$.
Isso significa que estamos procurando o $(2024 - 1)$-ésimo termo dentro da parte que se repete. Ou seja, o 2023º termo da sequência $(3, 7, 5, 1, 3, 7, 5, 1, \dots)$.
Para encontrar qual elemento do ciclo corresponde a essa posição, dividimos 2023 pelo comprimento do período (4):
$2023 \div 4 = 505$ com resto 3.
O resto 3 indica que o termo procurado é o 3º elemento do ciclo $(3, 7, 5, 1)$.
O 1º elemento é 3.
O 2º elemento é 7.
O 3º elemento é 5.
Portanto, o 2024º termo da sequência é 5.

• (A) Incorreta: Seria a resposta se o resto da divisão de $(2024-1)$ por 4 fosse 0 (ou 4), indicando o último elemento do ciclo $(3, 7, 5, 1)$, que é 1.
• (B) Incorreta: Seria a resposta se o resto da divisão de $(2024-1)$ por 4 fosse 1, indicando o primeiro elemento do ciclo $(3, 7, 5, 1)$, que é 3.
• (C) Correta: O 2024º termo é 5, pois o primeiro termo é 6 e os termos seguintes formam um ciclo de 4 elementos $(3, 7, 5, 1)$. O 2024º termo corresponde ao 2023º termo dentro desse ciclo, e $2023 \div 4$ tem resto 3, indicando o terceiro elemento do ciclo, que é 5.
• (D) Incorreta: Este é o primeiro termo da sequência ($a_1=6$). A armadilha aqui é pensar que o período pode começar com 6 ou que a sequência se repete de forma que o 2024º termo seja o primeiro, o que não ocorre.
• (E) Incorreta: Seria a resposta se o resto da divisão de $(2024-1)$ por 4 fosse 2, indicando o segundo elemento do ciclo $(3, 7, 5, 1)$, que é 7.