Questão de Matemática e Raciocínio-Lógico · FCC TRT9 2022 (nº 17)

O conceito-chave é que uma potência com expoente negativo $a^{-n}$ significa que você deve inverter a base e mudar o sinal do expoente para positivo, ou seja, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$. Além disso, qualquer número (diferente de zero) elevado a zero é 1 ($a^0=1$).

(A) Incorreta: Este valor seria obtido se houvesse mais um par de termos simétricos que somassem 1, o que não é o caso na expressão dada.
(B) Incorreta: Este valor seria obtido se houvesse dois pares adicionais de termos simétricos que somassem 1, o que não corresponde à expressão dada.
(C) Incorreta: Este valor poderia ser obtido se houvesse apenas um par de termos simétricos que somassem 1 (por exemplo, apenas os termos com expoente $\pm 1$) mais o termo central, mas a expressão possui dois pares.
(D) Correta: Para resolver a soma, vamos analisar cada termo, usando a propriedade do expoente negativo e a propriedade de que $a^0=1$. Seja $x=2022$. A soma é:
\dfrac{1}{x^{-2}+1} + \dfrac{1}{x^{-1}+1} + \dfrac{1}{x^{0}+1} + \dfrac{1}{x^{1}+1} + \dfrac{1}{x^{2}+1}\

1. Termo central: $\dfrac{1}{x^{0}+1} = \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}$.
2. Pares simétricos: Observe a propriedade geral para termos com expoentes opostos: $\dfrac{1}{x^{-k}+1} + \dfrac{1}{x^k+1}$.
   Primeiro, vamos simplificar $\dfrac{1}{x^{-k}+1}$:
   $\dfrac{1}{x^{-k}+1} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{x^k}+1}$ (usando $x^{-k} = \dfrac{1}{x^k}$)
   $\dfrac{1}{\dfrac{1}{x^k}+1} = \dfrac{1}{\dfrac{1+x^k}{x^k}}$ (tirando o mínimo múltiplo comum no denominador)
   $\dfrac{1}{\dfrac{1+x^k}{x^k}} = \dfrac{x^k}{1+x^k}$ (invertendo a fração do denominador)
   Agora, somamos com o termo simétrico:
   $\dfrac{x^k}{1+x^k} + \dfrac{1}{x^k+1} = \dfrac{x^k+1}{x^k+1} = 1$.
   Aplicando isso aos pares da nossa soma:
   • Para $k=1$: $(\dfrac{1}{2022^{-1}+1} + \dfrac{1}{2022^{1}+1}) = 1$.
   • Para $k=2$: $(\dfrac{1}{2022^{-2}+1} + \dfrac{1}{2022^{2}+1}) = 1$.
     Somando todos os resultados: $1 + 1 + \dfrac{1}{2} = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$.
     (E) Incorreta: $\dfrac{1}{2}$. Esta seria a resposta se o aluno calculasse apenas o termo central $\dfrac{1}{2022^0+1}$ e ignorasse os demais, ou se assumisse incorretamente que os outros termos se anulariam ou seriam zero. A armadilha aqui é não aplicar corretamente a propriedade do expoente negativo e não perceber a simetria da soma, que faz com que os pares de termos se somem a 1.