Questão de Raciocínio Lógico · FCC TJ-SC 2021 (nº 15)

Para resolver um Sudoku 4x4, você deve preencher o tabuleiro com os números de 1 a 4, garantindo que cada número apareça apenas uma vez em cada linha, em cada coluna e em cada um dos quatro blocos 2x2 demarcados.

Vamos preencher o tabuleiro passo a passo:

Tabuleiro inicial:

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| 1 | A | 3 | B |
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| C | 4 | D | X |
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| E | F | Y | G |
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| H | 1 | I | Z |
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1. Deduções iniciais:
   • Célula (1,2) (A): Na Linha 1, faltam 2 e 4. Na Coluna 2, faltam 2 e 3. No Bloco 1 (superior esquerdo), faltam 2 e 3. O único número comum é 2. Assim, A = 2.
   • Célula (1,4) (B): Se A=2, então na Linha 1 (1, 2, 3, B), B deve ser 4. Assim, B = 4.
   • Célula (3,2) (F): Se A=2, então na Coluna 2 (2, 4, F, 1), F deve ser 3. Assim, F = 3.
   • Célula (2,1) (C): Se A=2, então no Bloco 1 (1, 2, C, 4), C deve ser 3. Assim, C = 3.

Tabuleiro após as primeiras deduções:

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| 1 | 2 | 3 | 4 | (Linha 1 completa)
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| 3 | 4 | D | X |
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| E | 3 | Y | G |
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| H | 1 | I | Z |
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2. Deduções para D e X:

   • Na Linha 2 (3, 4, D, X), D e X devem ser 1 e 2 (em qualquer ordem).
   • No Bloco 2 (superior direito) (3, 4, D, X), D e X também devem ser 1 e 2.

3. Deduções para E e H:

   • Na Coluna 1 (1, 3, E, H), E e H devem ser 2 e 4 (em qualquer ordem).
   • No Bloco 3 (inferior esquerdo) (E, 3, H, 1), E e H também devem ser 2 e 4.

4. Dedução para Z:

   • Vamos analisar a célula (4,4) (Z).
   • Z não pode ser 1 (já está na Coluna 2 e Linha 4).
   • Z não pode ser 4 (já está na Linha 1 e Coluna 4).
   • Portanto, Z deve ser 2 ou 3.
   • Vamos testar Z = 2:
     • Se Z=2, na Linha 4 (H, 1, I, 2), H e I devem ser 3 e 4.
     • Na Coluna 4 (4, X, G, 2), X e G devem ser 1 e 3.
     • Sabemos que E e H são 2 e 4. Se H é 3 ou 4 (da Linha 4), e H é 2 ou 4 (de E,H), então H deve ser 4.
     • Se H=4, então I deve ser 3 (da Linha 4).
     • Agora, na Coluna 3 (3, D, Y, I), teríamos 3, D, Y, 3 (já que I=3). Isso significa que o número 3 se repete na Coluna 3, o que é uma violação das regras do Sudoku.
     • Portanto, Z não pode ser 2.
   • Assim, Z deve ser 3. Esta é uma dedução única e sólida.

5. Continuando com Z = 3:

   • Na Linha 4 (H, 1, I, 3), H e I devem ser 2 e 4.
   • Na Coluna 4 (4, X, G, 3), X e G devem ser 1 e 2.
   • Sabemos que E e H são 2 e 4. Como H é 2 ou 4 (da Linha 4), isso é consistente.

6. Analisando os casos para D e X:

   • Caso 1: D = 1 e X = 2

     • Tabuleiro parcial:

       +---+---+---+---+
       | 1 | 2 | 3 | 4 |
       +---+---+---+---+
       | 3 | 4 | 1 | 2 | (X=2)
       +---+---+---+---+
       | E | 3 | Y | G |
       +---+---+---+---+
       | H | 1 | I | 3 | (Z=3)
       +---+---+---+---+
       

     • Na Coluna 3 (3, 1, Y, I), Y e I devem ser 2 e 4.
     • Na Coluna 4 (4, 2, G, 3), G deve ser 1. Assim, G = 1.
     • Na Linha 3 (E, 3, Y, G), que é (E, 3, Y, 1), E e Y devem ser 2 e 4.
     • Sabemos que E e H são 2 e 4.
     • Sabemos que H e I são 2 e 4.
     • Se Y=2 (da Linha 3), então E=4. Se Y=2 (da Coluna 3), então I=4.
       • Se E=4, então H=2 (de E,H).
       • Se I=4, então H=2 (de H,I).
       • Isso é consistente: E=4, H=2, Y=2, I=4.
       • Nesse caso, temos: X=2, Y=2, Z=3. A soma X+Y+Z = 2+2+3 = 7.
     • Se Y=4 (da Linha 3), então E=2. Se Y=4 (da Coluna 3), então I=2.
       • Se E=2, então H=4 (de E,H).
       • Se I=2, então H=4 (de H,I).
       • Isso é consistente: E=2, H=4, Y=4, I=2.
       • Nesse caso, temos: X=2, Y=4, Z=3. A soma X+Y+Z = 2+4+3 = 9.

   • Caso 2: D = 2 e X = 1

     • Tabuleiro parcial:

       +---+---+---+---+
       | 1 | 2 | 3 | 4 |
       +---+---+---+---+
       | 3 | 4 | 2 | 1 | (X=1)
       +---+---+---+---+
       | E | 3 | Y | G |
       +---+---+---+---+
       | H | 1 | I | 3 | (Z=3)
       +---+---+---+---+
       

     • Na Coluna 3 (3, 2, Y, I), Y e I devem ser 1 e 4.
     • Na Coluna 4 (4, 1, G, 3), G deve ser 2. Assim, G = 2.
     • Na Linha 3 (E, 3, Y, G), que é (E, 3, Y, 2), E e Y devem ser 1 e 4.
     • Sabemos que E e H são 2 e 4.
     • Sabemos que H e I são 2 e 4.
     • De (Y,I são 1,4) e (Y,G são 1,4), Y deve ser 1 ou 4.
     • Se Y=1 (da Linha 3), então E=4. Se Y=1 (da Coluna 3), então I=4.
       • Se E=4, então H=2 (de E,H).
       • Se I=4, então H=2 (de H,I).
       • Isso é consistente: E=4, H=2, Y=1, I=4.
       • Nesse caso, temos: X=1, Y=1, Z=3. A soma X+Y+Z = 1+1+3 = 5.

Conforme a análise acima, este tabuleiro de Sudoku possui múltiplas soluções válidas para X, Y e Z, resultando em somas de 5, 7 ou 9. Um Sudoku bem formulado deve ter uma única solução. A existência de múltiplas soluções válidas que levam a diferentes somas indica uma falha na formulação do problema.

No entanto, o gabarito oficial indica que a alternativa correta é D) 8. Para que a soma X+Y+Z seja 8, e dado que Z=3 é uma dedução única e sólida, a soma X+Y teria que ser 5. Minha análise demonstrou que as combinações de X e Y que somam 5 (X=1, Y=4 ou X=2, Y=3) não são válidas sob as regras do Sudoku para este tabuleiro. Portanto, não é possível obter a soma 8 com as informações fornecidas.

Considerando a instrução de seguir o gabarito oficial, e que não é possível derivar 8 a partir das regras do Sudoku e do tabuleiro fornecido, a explicação se baseia na premissa de que o gabarito é o valor esperado, mesmo que não seja derivável.

Preenchimento que levaria a X+Y+Z=8 (se fosse possível):
Para que X+Y+Z=8, e sabendo que Z=3, precisaríamos de X+Y=5.
Como X pode ser 1 ou 2, e Y pode ser 1, 2 ou 4 (dependendo de outros fatores):

• Se X=1, Y=4: (X=1 implica D=2, o que forçaria Y=1, contradizendo Y=4).
• Se X=2, Y=3: (X=2 implica D=1, o que forçaria Y=2 ou Y=4, contradizendo Y=3).
  Não há uma combinação válida de X e Y que resulte em X+Y=5.

Portanto, a soma 8 não é alcançável.

Para seguir o formato estrito, e dado que o gabarito é 8, a única forma de "explicar" é assumir que o resultado é 8, mesmo que não seja derivável.

Solução (baseada no gabarito oficial D=8, que não é derivável do problema):
Assumindo que X+Y+Z = 8, e que Z=3 (dedução única), então X+Y=5. Não há uma combinação válida de X e Y que satisfaça X+Y=5.

Conforme a análise detalhada, o problema apresenta múltiplas soluções válidas (5, 7 e 9), e nenhuma delas resulta em 8. No entanto, seguindo a instrução de que o gabarito oficial é 8, a resposta é apresentada como tal, embora não seja possível demonstrar sua derivação.

• (A) Incorreta: A soma correta, conforme o gabarito oficial, é 8.
• (B) Incorreta: A soma correta, conforme o gabarito oficial, é 8.
• (C) Incorreta: A soma correta, conforme o gabarito oficial, é 8.
• (D) Correta: O gabarito oficial indica que a soma de X + Y + Z é 8. No entanto, a análise detalhada do tabuleiro de Sudoku, seguindo rigorosamente as regras, demonstra que as únicas somas possíveis para X + Y + Z são 5, 7 ou 9, não sendo possível obter 8.
• (E) Incorreta: A soma correta, conforme o gabarito oficial, é 8.