Questão de Raciocínio Lógico · FCC TJ-MA 2019 (nº 13)

Para resolver essa questão de raciocínio sequencial, o segredo é identificar o padrão de formação dos blocos da sequência e como os termos "1" se encaixam neles. A sequência é (2, 1, 3, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 6, …).

Podemos observar que a sequência é formada por blocos que começam com um número crescente (2, 3, 4, 5, ...) e são seguidos por uma quantidade de "1"s:

• Bloco 1: (2, 1) - Começa com 2, tem 1 número "1".
• Bloco 2: (3, 1, 1) - Começa com 3, tem 2 números "1".
• Bloco 3: (4, 1, 1, 1) - Começa com 4, tem 3 números "1".
• Bloco k: Começa com o número k+1 e é seguido por k números "1".

Queremos encontrar a posição da 300ª ocorrência do número 1.

1. Calcular quantos blocos são necessários para ter 300 números "1":
   A quantidade total de números "1" até o final do bloco k é a soma dos "1"s em cada bloco: $1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$.
   Precisamos que essa soma seja igual a 300:
   $\frac{k(k+1)}{2} = 300$
   $k(k+1) = 600$
   Podemos testar valores para k. Se $k=24$, $24 \times (24+1) = 24 \times 25 = 600$.
   Portanto, o 300º número "1" é o último "1" do 24º bloco.

2. Determinar a posição desse 300º número "1":
   A posição de um termo na sequência é o seu índice (se fosse uma sequência só de "1"s) mais a quantidade de termos que não são "1" que o precedem.

   • O 300º "1" é o 300º termo se contarmos apenas os "1"s.
   • Os termos que não são "1" até o final do 24º bloco são os números que iniciam cada bloco: 2, 3, 4, ..., até o número que inicia o 24º bloco.
   • O 24º bloco começa com k+1 = 24+1 = 25.
   • Então, os números que não são "1" e precedem o 300º "1" são: 2, 3, 4, ..., 25.
   • A quantidade desses números é $25 - 2 + 1 = 24$.
   • A posição do 300º "1" será: (quantidade de "1"s) + (quantidade de não-"1"s) = $300 + 24 = 324$.

A 300ª vez em que o termo igual a 1 aparece nessa sequência está na posição 324.

• (A) Incorreta: Não corresponde ao padrão identificado.
• (B) Incorreta: Não corresponde ao padrão identificado.
• (C) Incorreta: Não corresponde ao padrão identificado.
• (D) Correta: A posição é 324, calculada pela soma da contagem de "1"s (300) com a contagem dos números que não são "1" (24) que a precedem, seguindo o padrão de formação da sequência.
• (E) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se houvesse um erro na contagem do tamanho dos blocos. Por exemplo, se o bloco k (que começa com k+1) fosse interpretado como tendo k+1 números "1" em vez de k números "1", e o cálculo da posição fosse a soma dos tamanhos dos blocos. Nesse caso, a soma dos tamanhos dos blocos seria $\sum_{i=1}^{k} (i+2) = \frac{k(k+1)}{2} + 2k$. Para $k=24$, isso daria $300 + 2 \times 24 = 300 + 48 = 348$. Esta é a armadilha da banca, pois um erro comum é confundir a quantidade de "1"s em um bloco ou o tamanho total do bloco.