Questão de Raciocínio Lógico · FCC TJ-CE 2022 (nº 13)

Criptoaritmética é um tipo de quebra-cabeça matemático onde letras representam algarismos (dígitos). A regra principal é que letras iguais representam o mesmo algarismo, e letras distintas representam algarismos distintos. O objetivo é descobrir qual algarismo cada letra representa para que a operação matemática seja verdadeira.

Vamos analisar a adição dada:

    B B
+   A A

  C C C

Isso pode ser escrito como:
$(10B + B) + (10A + A) = 100C + 10C + C$
$11B + 11A = 111C$
$11(A + B) = 111C$

Agora, vamos analisar a adição por colunas, considerando os "vai um" (carries):

1. Coluna das Unidades: B + A = C + 10 * $k_1$ (onde $k_1$ é o "vai um" para a coluna das dezenas)
2. Coluna das Dezenas: B + A + $k_1$ = C + 10 * $k_2$ (onde $k_2$ é o "vai um" para a coluna das centenas)
3. Coluna das Centenas: $k_2$ = C

Deduções Essenciais:

• Valor de C: O número C C C é o resultado da soma de dois números de dois algarismos (BB e AA). O maior valor possível para BB + AA é 99 + 99 = 198. Portanto, C C C deve ser um número de três algarismos menor ou igual a 198. O único número de três algarismos com todos os algarismos iguais nessa faixa é 111. Assim, C = 1.
• Valor de $k_2$: Da coluna das centenas, sabemos que $k_2 = C$. Como C = 1, então $k_2 = 1$.

Agora, substituímos C=1 e $k_2=1$ nas equações das colunas:

1. B + A = 1 + 10 * k_1\
2. B + A + $k_1$ = 1 + 10 * (1) $\implies$ B + A + $k_1$ = 11

Análise do $k_1$:

• A e B são algarismos distintos e não podem ser 0 (pois são algarismos iniciais de números de dois dígitos, e se fossem 0, a soma não seria 111). Além disso, A e B devem ser distintos de C=1. Portanto, A e B são algarismos distintos de {2, 3, ..., 9}.
• A soma mínima de A+B é 2+3=5. A soma máxima é 9+8=17.
• Da equação (1), B + A = 1 + 10 * $k_1$:
  • Se $k_1 = 0$, então B + A = 1. Isso é impossível, pois a soma mínima de A+B é 5.
  • Se $k_1 = 1$, então B + A = 11. Isso é possível (ex: 2+9, 3+8, 4+7, 5+6).

Portanto, devemos ter $k_1 = 1$ e B + A = 11.

Verificação da Consistência:
Agora, substituímos B + A = 11 e $k_1 = 1$ na equação (2):
(B + A) + $k_1$ = 11
11 + 1 = 11
12 = 11

Esta é uma contradição. A lógica matemática nos leva a uma inconsistência, o que significa que o problema, conforme apresentado, não possui solução sob as regras padrão da criptoaritmética.

A "Pegadinha" e o Gabarito:
A "pegadinha" da banca, neste caso, é que o problema é insolúvel. No entanto, como o gabarito oficial indica uma resposta (E) 16, somos forçados a considerar uma interpretação alternativa ou a suposição de que o problema pode ter um erro na sua formulação ou no gabarito.

Se o gabarito A + B + C = 16 estiver correto, e C = 1 (dedução robusta), então A + B = 15.
Vamos testar A + B = 15 e C = 1:

• Coluna das Unidades: B + A = 15. O algarismo das unidades da soma seria 5. Mas o algarismo das unidades de C C C é C, que é 1. Isso gera uma contradição (5 = 1).
• Exemplo: Se A=7 e B=8 (A+B=15), a soma seria:

    8 8
  + 7 7
  
  1 6 5
  

  Neste caso, o resultado é 165, que não é C C C (111).

A única maneira de chegar ao gabarito 16, ignorando a contradição, seria se o problema estivesse mal formulado e, por exemplo, o "C" na soma A+B+C se referisse ao "vai um" da coluna das dezenas (que é 1), e A+B fosse 15, mas a soma não fosse CCC. Contudo, essa não é a interpretação literal do enunciado.

Conclusão para o Aluno (e a "Pegadinha"):
Um bom professor explicaria que, seguindo rigorosamente as regras da criptoaritmética, este problema não tem solução. A "pegadinha" é que a banca pode apresentar problemas que, à primeira vista, parecem ter solução, mas levam a uma contradição lógica. O aluno deve fixar o conceito de que, se as deduções levam a uma contradição, não há solução para o problema conforme apresentado. Se, ainda assim, houver um gabarito, isso indica uma falha na questão ou uma interpretação não-padrão que não pode ser logicamente derivada.

Análise das Alternativas:

• (A) Incorreta: Baseado na análise rigorosa, o problema não tem solução. Se houvesse, A+B+C=21 implicaria A+B=20 (com C=1), o que é impossível para dois algarismos distintos (máximo 9+8=17).
• (B) Incorreta: Baseado na análise rigorosa, o problema não tem solução. Se houvesse, A+B+C=9 implicaria A+B=8 (com C=1). Isso é possível (ex: 2+6, 3+5), mas não resolve a contradição fundamental do problema.
• (C) Incorreta: Baseado na análise rigorosa, o problema não tem solução. Se houvesse, A+B+C=11 implicaria A+B=10 (com C=1). Isso é possível (ex: 2+8, 3+7), mas não resolve a contradição fundamental do problema.
• (D) Incorreta: Baseado na análise rigorosa, o problema não tem solução. Se houvesse, A+B+C=15 implicaria A+B=14 (com C=1). Isso é possível (ex: 5+9, 6+8), mas não resolve a contradição fundamental do problema.
• (E) Correta: Embora a análise rigorosa mostre que o problema não tem solução, o gabarito oficial indica 16. Para que A+B+C=16, e com a dedução sólida de C=1, teríamos A+B=15. Essa soma é possível para algarismos distintos (ex: A=7, B=8 ou A=6, B=9). No entanto, como demonstrado, A+B=15 e C=1 levam a um resultado de 165, e não 111 (CCC), o que contradiz o enunciado. A "armadilha da banca" é que o problema é insolúvel, e esta alternativa é dada como correta apesar da inconsistência.