Questão de Raciocínio Lógico · FCC TJ-CE 2022 (nº 14)

Um sistema de equações é um conjunto de equações com variáveis que precisam ser resolvidas. Uma forma eficiente de resolver problemas com soma, produto e diferença de dois números é usar identidades algébricas que relacionam essas grandezas.

• (A) Incorreta: Se a soma fosse 16 e a diferença 18, os números seriam $x=17$ e $y=-1$. O produto $17 \cdot (-1) = -17$, que não é 88, e um dos números não é positivo.

• (B) Incorreta: Se a soma fosse 22 e a diferença 18, os números seriam $x=20$ e $y=2$. O produto $20 \cdot 2 = 40$, que não é 88.

• (C) Incorreta: Se a soma fosse 24 e a diferença 18, os números seriam $x=21$ e $y=3$. O produto $21 \cdot 3 = 63$, que não é 88.

• (D) Correta: Sejam os dois números positivos $x$ e $y$.
  Temos as seguintes informações:

  1. Produto: x \cdot y = 88\
  2. Diferença: $x - y = 18$
     Queremos encontrar a soma: $x + y = ?$

  Podemos usar a identidade algébrica que relaciona soma, diferença e produto de dois números:
  $(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy$

  Substituindo os valores conhecidos na identidade:
  $(x+y)^2 = (18)^2 + 4 \cdot 88$
  $(x+y)^2 = 324 + 352$
  $(x+y)^2 = 676$

  Para encontrar a soma $(x+y)$, tiramos a raiz quadrada de 676:
  $x+y = \sqrt{676}$
  Como os números $x$ e $y$ são positivos, a soma $x+y$ também deve ser positiva.
  $x+y = 26$.

  (Alternativamente, poderíamos resolver o sistema: de $x-y=18$, temos $x=18+y$. Substituindo em $xy=88$: $(18+y)y=88 \implies y^2+18y-88=0$. Resolvendo essa equação quadrática, encontramos $y=4$ (pois $y$ deve ser positivo). Se $y=4$, então $x=18+4=22$. Os números são 22 e 4. A soma $22+4=26$.)

• (E) Incorreta: Se a soma fosse 28 e a diferença 18, os números seriam $x=23$ e $y=5$. O produto $23 \cdot 5 = 115$, que não é 88.