Questão de Estatística · FCC SEFAZ-BA 2019 (nº 52)

O Coeficiente de Variação (CV) é uma medida de dispersão relativa que indica o quanto os dados variam em relação à média, sendo calculado como a razão entre o desvio padrão e a média ($\frac{\sigma}{\mu}$). A Variância ($\sigma^2$) mede o quão espalhados os dados estão em relação à média, sendo o quadrado do desvio padrão.

Vamos calcular a "variância relativa" de $P_2$, que, neste contexto e dadas as alternativas, é interpretada como o quadrado do coeficiente de variação ($CV^2$).

1. Dados de $P_1$:

   • Média ($\mu_1$) = 20
   • Tamanho ($N_1$) = 20
   • Coeficiente de Variação ($CV_1$) = 30% = 0,30

2. Calcular o desvio padrão ($\sigma_1$) e a variância ($\sigma_1^2$) de $P_1$:
   $CV_1 = \frac{\sigma_1}{\mu_1} \implies 0,30 = \frac{\sigma_1}{20} \implies \sigma_1 = 0,30 \times 20 = 6$.
   $\sigma_1^2 = 6^2 = 36$.

3. Calcular a soma dos elementos ($\sum x_i$) e a soma dos quadrados dos elementos ($\sum x_i^2$) de $P_1$:
   $\sum x_i = N_1 \times \mu_1 = 20 \times 20 = 400$.
   Usando a fórmula $\sigma_1^2 = \frac{\sum x_i^2}{N_1} - \mu_1^2$, temos $\sum x_i^2 = N_1 (\sigma_1^2 + \mu_1^2)$.
   $\sum x_i^2 = 20 \times (36 + 20^2) = 20 \times (36 + 400) = 20 \times 436 = 8720$.

4. Formar a nova população $P_2$:
   Dois elementos iguais a 11 são excluídos.

   • Novo tamanho ($N_2$) = $N_1 - 2 = 20 - 2 = 18$.
   • Nova soma dos elementos ($\sum y_i$) = $\sum x_i - (11 + 11) = 400 - 22 = 378$.
   • Nova média ($\mu_2$) = $\frac{\sum y_i}{N_2} = \frac{378}{18} = 21$.
   • Nova soma dos quadrados dos elementos ($\sum y_i^2$) = $\sum x_i^2 - (11^2 + 11^2) = 8720 - (121 + 121) = 8720 - 242 = 8478$.

5. Calcular a variância ($\sigma_2^2$) de $P_2$:
   $\sigma_2^2 = \frac{\sum y_i^2}{N_2} - \mu_2^2 = \frac{8478}{18} - 21^2 = 471 - 441 = 30$.

6. Calcular a "variância relativa" de $P_2$ (interpretada como $CV_2^2$):
   $CV_2 = \frac{\sigma_2}{\mu_2} = \frac{\sqrt{30}}{21}$.
   $CV_2^2 = \left(\frac{\sqrt{30}}{21}\right)^2 = \frac{30}{21^2} = \frac{30}{441}$.
   Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 3):
   $CV_2^2 = \frac{10}{147}$.

(A) Correta: 10/147. Este é o resultado do cálculo da "variância relativa" de $P_2$, interpretada como o quadrado do coeficiente de variação de $P_2$, após todas as etapas de ajuste da população.
(B) Incorreta: 4/49. Este valor não corresponde a nenhum cálculo lógico a partir dos dados fornecidos.
(C) Incorreta: 16/147. Este valor não corresponde a nenhum cálculo lógico a partir dos dados fornecidos.
(D) Incorreta: 8/49. Este valor não corresponde a nenhum cálculo lógico a partir dos dados fornecidos.
(E) Incorreta: 4/441. Esta alternativa é um distrator tentador. Ela resultaria se a variância de $P_2$ ($\sigma_2^2$) fosse 4 (em vez de 30) e a média ($\mu_2$) fosse 21. A armadilha aqui é que $\mu_2=21$ está correto, mas o valor da variância $\sigma_2^2=4$ é um erro de cálculo significativo, que poderia ocorrer por uma falha na subtração dos quadrados dos elementos ou na divisão, levando a um resultado "limpo" mas incorreto.