Questão de Matemática · FCC PM-BA 2023 (nº 13)

O conceito-chave aqui é identificar o padrão de crescimento na sequência de figuras para formar uma progressão aritmética (PA). Uma PA é uma sequência numérica onde a diferença entre termos consecutivos é constante.

• Análise das Figuras:
  • Figura 1: Possui 1 triângulo e 3 palitos.
  • Figura 2: Possui 2 triângulos e 5 palitos (3 da Figura 1 + 2 adicionais para o segundo triângulo, compartilhando um lado).
  • Figura 3: Possui 3 triângulos e 7 palitos (5 da Figura 2 + 2 adicionais para o terceiro triângulo, compartilhando um lado).
• Identificação do Padrão: A sequência do número de palitos é 3, 5, 7, ...
  • O primeiro termo ($a_1$) é 3.
  • A razão ($r$) é a diferença entre termos consecutivos: $5 - 3 = 2 e \7 - 5 = 2$. Portanto,$r = 2$.
• Fórmula da PA: O número de palitos na $n$-ésima figura é dado por $a_n = a_1 + (n-1)r$.
  • Substituindo os valores: $a_n = 3 + (n-1)2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$.
• Cálculo para a Figura 20: Para encontrar o número de palitos na Figura 20, usamos $n=20$:
  • $a_{20} = 2(20) + 1 = 40 + 1 = 41$.

A questão pede "O número de palitos necessários para continuarmos a sequência até a Figura 20", que geralmente se refere ao número de palitos na Figura 20. Se a pergunta fosse sobre o total de palitos para construir todas as figuras de 1 a 20 (a soma da PA), o cálculo seria:
$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$
$S_{20} = \frac{20(3 + 41)}{2} = \frac{20 \times 44}{2} = 10 \times 44 = 440$.

Com base na análise visual e na interpretação padrão de problemas de sequência, o número de palitos na Figura 20 é 41, e a soma total seria 440. Nenhuma dessas opções corresponde ao gabarito (D) 670. Isso sugere que o gabarito oficial pode estar incorreto ou que a questão se baseia em uma interpretação não óbvia das figuras ou do enunciado. No entanto, para explicar o gabarito, precisamos considerar uma alternativa que leve a 670.

A única forma de obter 670 como resposta para a soma dos palitos das 20 primeiras figuras seria se a sequência de palitos por figura fosse diferente, por exemplo, $a_n = 3n+2$. Nesse caso, teríamos:
$a_1 = 3(1)+2 = 5$
$a_2 = 3(2)+2 = 8$
$a_3 = 3(3)+2 = 11$
Esta sequência (5, 8, 11, ...) não corresponde às figuras apresentadas (3, 5, 7, ...).
Se essa sequência ($a_n = 3n+2$) fosse a correta, a soma dos 20 primeiros termos seria:
$S_{20} = \frac{20(a_1 + a_{20})}{2} = \frac{20(5 + (3 \times 20 + 2))}{2} = \frac{20(5 + 62)}{2} = \frac{20 \times 67}{2} = 10 \times 67 = 670$.

Portanto, para que o gabarito seja 670, a questão deveria estar pedindo a soma dos palitos de uma sequência diferente daquela mostrada nas figuras.

• (A) Incorreta: 620 não corresponde ao número de palitos na Figura 20 (41) nem à soma total (440) da progressão visualmente identificada. Se a sequência fosse $a_n=3n$ (cada triângulo com 3 palitos, sem compartilhamento), a soma seria $S_{20} = 630$, que é próximo, mas não 620.
• (B) Incorreta: 520 não corresponde ao número de palitos na Figura 20 (41) nem à soma total (440) da progressão visualmente identificada.
• (C) Incorreta: 560 não corresponde ao número de palitos na Figura 20 (41) nem à soma total (440) da progressão visualmente identificada.
• (D) Correta: A armadilha da banca aqui seria induzir o aluno a calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética diferente daquela que as figuras sugerem. As figuras mostram uma PA com $a_1=3$ e $r=2$, resultando em $a_{20}=41$ (palitos na Figura 20) ou $S_{20}=440$ (soma total). No entanto, a alternativa 670 seria a resposta se a questão estivesse pedindo a soma dos palitos de todas as figuras até a 20ª, mas com uma sequência de palitos por figura diferente, especificamente $a_n = 3n+2$. Essa sequência (5, 8, 11, ...) não se alinha com as figuras apresentadas (3, 5, 7, ...), o que indica uma inconsistência no problema ou no gabarito. Para que 670 seja o gabarito, o aluno teria que ignorar o padrão visual e de alguma forma inferir a sequência $a_n = 3n+2$ e calcular sua soma.
• (E) Incorreta: 750 não corresponde ao número de palitos na Figura 20 (41) nem à soma total (440) da progressão visualmente identificada.