Questão de Raciocínio Lógico · FCC ALAP 2019 (nº 14)

Para resolver equações com potências, a estratégia é decompor todos os números em seus fatores primos e, em seguida, igualar os expoentes das bases que são iguais.

A equação dada é $2^a \cdot 3^b = 18 \cdot 6^c$.
Primeiro, vamos decompor os números $18 e \6$ em seus fatores primos:

• $18 = 2 \cdot 9 = 2^1 \cdot 3^2$
• $6 = 2 \cdot 3$
  Agora, substituímos na equação original:
  $2^a \cdot 3^b = (2^1 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 3)^c$
  Aplicamos a propriedade de potência $(x \cdot y)^z = x^z \cdot y^z$:
  $2^a \cdot 3^b = (2^1 \cdot 3^2) \cdot (2^c \cdot 3^c)$
  Agora, agrupamos os termos com a mesma base no lado direito da equação, usando a propriedade $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
  $2^a \cdot 3^b = 2^{1+c} \cdot 3^{2+c}$
  Para que a igualdade seja verdadeira, os expoentes das bases correspondentes devem ser iguais:
• Para a base 2: $a = 1 + c$
• Para a base 3: $b = 2 + c$
  O problema pede o valor de $b - a$. Substituímos as expressões encontradas para $a$ e $b$:
  $b - a = (2 + c) - (1 + c)$
  $b - a = 2 + c - 1 - c$
  $b - a = 2 - 1$
  $b - a = 1$

(A) Incorreta: O valor de $b-a$ é 1, não 5.
(B) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se houvesse um erro na fatoração de 18, como $18 = 2^1 \cdot 3^3$ (que é $54$). Nesse caso,$a=1+c$e$b=3+c$, resultando em$b-a = (3+c)-(1+c) = 2$. Essa é uma armadilha comum de erro de cálculo na fatoração. **(C) Incorreta:** O valor de$b-a$é 1, não 4. **(D) Incorreta:** O valor de$b-a$é 1, não 3. **(E) Correta:** Conforme demonstrado, ao decompor os números em fatores primos e igualar os expoentes das bases correspondentes, obtemos$a = 1+c$e$b = 2+c$. A diferença$b-a$é$(2+c) - (1+c) = 1$.