Questão de Matemática Financeira · FCC ALAP 2019 (nº 41)

A Matemática Financeira lida com o valor do dinheiro no tempo, usando juros simples (onde os juros são calculados sempre sobre o capital inicial) e juros compostos (onde os juros são calculados sobre o montante do período anterior, ou seja, juros sobre juros). É fundamental harmonizar as unidades de tempo da taxa e do período da aplicação.

Passo a passo da resolução:

1. Cálculo da primeira aplicação (Juros Simples):

   • Capital: $C_1$
   • Tempo: $t_1 = 6$ meses
   • Taxa de juros: $i_1 = 18\%$ ao ano. Para harmonizar com o tempo em meses, convertemos: $i_1 = 18\% / 12 = 1.5\%$ ao mês $= 0.015$ ao mês.
   • Montante: M_1 = R\ 27.250,00$
   • A fórmula para montante em juros simples é $M = C(1 + i \cdot t)$.
   • $27250 = C_1(1 + 0.015 \cdot 6)$
   • $27250 = C_1(1 + 0.09)$
   • $27250 = C_1(1.09)$
   • C_1 = 27250 / 1.09 = R\ 25.000,00$
   • Os juros da primeira aplicação ($J_1$) são: J_1 = M_1 - C_1 = 27250 - 25000 = R\ 2.250,00$.

2. Cálculo da segunda aplicação (Juros Compostos):

   • Capital: C_2 = \text{dobro do primeiro capital} = 2 \times C_1 = 2 \times 25000 = R\ 50.000,00$.
   • Tempo: $t_2 = 4$ meses. Para harmonizar com a taxa bimestral, convertemos: $t_2 = 4 \text{ meses} / 2 \text{ meses/bimestre} = 2$ bimestres.
   • Taxa de juros: $i_2 = 2\%$ ao bimestre $= 0.02$ ao bimestre.
   • A fórmula para montante em juros compostos é $M = C(1 + i)^t$.
   • $M_2 = C_2(1 + i_2)^{t_2}$
   • $M_2 = 50000(1 + 0.02)^2$
   • $M_2 = 50000(1.02)^2$
   • $M_2 = 50000(1.0404)$
   • M_2 = R\ 52.020,00$
   • Os juros da segunda aplicação ($J_2$) são: J_2 = M_2 - C_2 = 52020 - 50000 = R\ 2.020,00$.

3. Soma dos juros das duas aplicações:

   • Soma dos juros = J_1 + J_2 = 2250 + 2020 = R\ 4.270,00$.

• (A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da soma dos juros.
• (B) Correta: A soma dos juros das duas aplicações é R$ 4.270,00, conforme os cálculos detalhados acima, aplicando corretamente as fórmulas de juros simples e compostos e harmonizando as unidades de tempo.
• (C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da soma dos juros. Uma possível armadilha que levaria a um valor próximo seria um erro na conversão do tempo ou na aplicação da fórmula de juros compostos para a segunda aplicação, por exemplo, se o tempo fosse erroneamente considerado como 1.81 bimestres, resultando em J_2 \approx R\ 1.830,00$e total de$R$ 4.080,00$.
• (D) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da soma dos juros. Armadilha da banca: Esta alternativa é um distrator tentador que resulta de um erro comum: esquecer de dobrar o capital da segunda aplicação. Se o aluno considerasse C_2 = C_1 = R\ 25.000,00$, os juros da segunda aplicação seriam$J_2 = 25000((1.02)^2 - 1) = 25000 \times 0.0404 = R$ 1.010,00$. A soma total dos juros seria$J_1 + J_2 = 2250 + 1010 = R$ 3.260,00, valor muito próximo de R\ 3.200,00.
• (E) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da soma dos juros.