Questão nº 172

Questão de Matemática · INEP ENEM 2025 (nº 172)

INEP2025Matemática

Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:

P = 4 ⋅ log[−K ⋅ (t + 1) ⋅ (t − 19)]

O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse
10 atmosferas durante seu funcionamento.
O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante.

O maior valor a ser escolhido para K é

A $10^{0,5}$ (alternativa correta)
B $10^{8}$
C $10^{\frac{2,5}{84}}$
D $10^{\frac{2,5}{99}}$
E $25 \times 10^{-2}$

Resposta comentada

Gabarito Alternativa A

Conceito‑chave: a pressão $P$ cresce quando o argumento do logaritmo cresce, pois $\log x$ é crescente. Assim, para que $P\le 10$  atm durante as 10 h, basta limitar o maior valor que o argumento $-K\,(t+1)(t-19)$ pode assumir no intervalo $0\le t\le10$ .

(A) Correta: No intervalo $[0,10]$ o argumento máximo ocorre em $t=9$ , valendo $100K$. Impõe‑se $4\log(100K)\le10\;\Rightarrow\;\log(100K)\le2,5\;\Rightarrow\;100K\le10^{2,5}\;\Rightarrow\;K\le10^{0,5}$ . O maior $K$ permitido é $10^{0,5}$ .
(B) Incorreta: $10^{8}$ é muito maior que $10^{0,5}$ ; ele faria $P$ ultrapassar 10 atm, violando a recomendação.
(C) Incorreta: $10^{\frac{2,5}{84}}$ corresponde a $10^{0,0298\ldots}$ , valor bem abaixo do máximo admissível, portanto não é o maior $K$ possível.
(D) Incorreta: $10^{\frac{2,5}{99}}$ é ainda menor ( $10^{0,0252\ldots}$ ); embora satisfaça a condição, não maximiza $K$ .
(E) Incorreta: $25\times10^{-2}=0,25=10^{-0,602}$ , também muito pequeno; não aproveita o limite máximo de $K$ .

Fonte: INEP ENEM 2025 (Caderno Azul). Reproduzida para fins de estudo.

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