Questão de Matemática · CESGRANRIO Transpetro PSP-RH-2018.1 (nº 20)

Um sistema linear homogêneo é aquele em que todos os termos independentes são zero, então $(0,0,0)$ sempre é solução. Ele terá infinitas soluções quando o determinante da matriz dos coeficientes for igual a zero (sistema possível e indeterminado).

• (A) Incorreta: $\alpha = 0$ torna a matriz $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$, cujo determinante é $2 \neq 0$, dando solução única (só a trivial), não infinitas.
• (B) Incorreta: $\alpha = 1$ gera linhas 1 e 2 idênticas, mas o determinante da matriz $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ é $0$, porém isso não é o maior valor que satisfaz a condição — a pegadinha é achar que qualquer valor que zere o determinante serve, mas o enunciado pede o maior.
• (C) Correta: Calculando o determinante da matriz $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & \alpha & 1 \ \alpha & \alpha & 2 \end{bmatrix}$, obtemos $\det = \alpha^2 - 3\alpha + 2 = (\alpha-1)(\alpha-2)$. Para infinitas soluções, $\det = 0$, logo $\alpha = 1$ ou $\alpha = 2$. O maior valor é $\alpha = 2$.
• (D) Incorreta: $\alpha = 3$ resulta em $\det = (3-1)(3-2) = 2 \neq 0$, dando solução única, não infinitas.
• (E) Incorreta: $\alpha = 4$ resulta em $\det = (4-1)(4-2) = 6 \neq 0$, solução única, não infinitas.

Armadilha da banca: o distrator mais tentador é $\alpha = 1$, pois o aluno vê que as duas primeiras equações ficam iguais e conclui que há infinitas soluções, esquecendo de verificar que $\alpha = 2$ também zera o determinante e é maior. A banca testa se você resolve a equação completa do determinante, não apenas se encontra um caso particular.