Questão de Matemática · CESGRANRIO Casa da Moeda do Brasil 01/2023 (nº 25)

Conceito-chave: Uma equação exponencial tem a incógnita no expoente. Para resolvê-la, usamos uma substituição para transformá-la em uma equação mais simples (como uma do 2º grau), mas depois precisamos verificar se as soluções encontradas são válidas na equação original, pois expoente de base positiva nunca resulta em número negativo.

• (A) Incorreta: Existe sim uma solução real, pois a substituição $y = 2^x$ gera uma equação do 2º grau com uma raiz positiva ($y = 6$), que corresponde a $x = \log_2 6$.
• (B) Correta: Fazendo $y = 2^x$ (com $y > 0$), a equação vira $y^2 - 5y - 6 = 0$, cujas raízes são $y = 6$ e $y = -1$. Como $2^x$ nunca é negativo, descartamos $y = -1$. Resta $2^x = 6 \Rightarrow x = \log_2 6$, que é a única solução real.
• (C) Incorreta: A pegadinha é achar que as duas raízes do 2º grau ($6$e$-1$) geram duas soluções, mas$2^x = -1$ não tem solução real, pois potência de base positiva é sempre positiva.
• (D) Incorreta: Não há três soluções; a equação do 2º grau tem apenas duas raízes, e uma delas é inválida no contexto exponencial.
• (E) Incorreta: Não há quatro soluções; o número de soluções reais é limitado pelas raízes positivas da equação auxiliar, que é apenas uma.