Questão de Matemática · CESGRANRIO Casa da Moeda do Brasil 01/2023 (nº 24)

Conceito-chave: Ao montar um cone a partir de um setor circular, o raio do setor vira a geratriz ($g$) do cone, e o comprimento do arco do setor vira o comprimento da circunferência da base do cone. A altura ($h$) é encontrada por Pitágoras: $h^2 = g^2 - r^2$, onde $r$ é o raio da base.

• (A) Incorreta: 5 cm seria a altura se o raio da base fosse $\sqrt{75}$, o que não ocorre; também é um valor que surge se o aluno confunde o raio do disco (10 cm) com a altura diretamente, ignorando a geometria do cone.
• (B) Incorreta: 10 cm é o raio do disco original (metade do diâmetro), que vira a geratriz do cone, não a altura. A armadilha aqui é achar que o raio do papelão é a altura do copo.
• (C) Correta: O disco de 20 cm de diâmetro tem raio 10 cm. Cortado ao meio, cada semicírculo tem raio $g = 10$ cm (geratriz). O arco do semicírculo tem comprimento $\pi \cdot 10 = 10\pi$ cm, que será a circunferência da base do cone: $2\pi r = 10\pi \Rightarrow r = 5$ cm. Aplicando Pitágoras: $h^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75 \Rightarrow h = \sqrt{75}$ cm.
• (D) Incorreta: 125 é o quadrado de $g + r$ (10+5) elevado ao quadrado? Não, é um valor que surge se o aluno soma $g^2 + r^2 = 125$ em vez de subtrair, invertendo o Teorema de Pitágoras.
• (E) Incorreta: 150 é o dobro de 75, provavelmente de quem calcula $2 \times (g^2 - r^2)$ ou confunde o diâmetro da base (10) com o raio, obtendo $h^2 = 100 - 25 = 75$ e depois multiplica por 2 por engano.