Questão de Matemática · CESGRANRIO Casa da Moeda do Brasil 01/2023 (nº 21)

Conceito-chave: Quando o problema diz "sem usar saia e calça ao mesmo tempo", significa que essas duas peças são mutuamente exclusivas em qualquer combinação. Para resolver, separamos em casos (com calça, com saia, ou sem nenhuma das duas) e somamos os resultados, pois são eventos que não se sobrepõem.

• (A) Incorreta: 10 seria o resultado se você apenas escolhesse 3 peças entre as 10 disponíveis ($C_{10,3}=120$) e dividisse por algo sem sentido, ou se contasse apenas os casos com calça (2 calças × escolha de 2 entre as 6 outras = $2 \times C_{6,2}=30$, não 10). A armadilha aqui é achar que "3 peças" significa "1 de cada tipo", o que daria $5 \times 2 \times 2 = 20$ (sem saia) e depois errar na soma.
• (B) Incorreta: 15 seria o número de maneiras de escolher 3 peças entre as 5 camisas ($C_{5,3}=10$) somado a algo, ou o total de combinações com saia (1 saia × escolha de 2 entre 7 = $C_{7,2}=21$, não 15). A pegadinha é ignorar que calça e saia não podem juntas, contando todas as combinações de 3 peças entre 10 ($C_{10,3}=120$) e depois subtraindo apenas as que têm calça e saia juntas (1×2×8=16), o que daria 104, não 15.
• (C) Correta: O total é a soma de três casos mutuamente exclusivos: (1) com calça (e sem saia): escolha 1 calça entre 2 e 2 outras peças entre as 6 restantes (5 camisas + 1 saia? Não! Saia está proibida junto com calça, então só 5 camisas + 2 sapatos = 7 peças, mas precisamos de 2 entre elas, excluindo a saia: $2 \times C_{7,2} = 2 \times 21 = 42$? Isso excede 30, então vamos refazer: na verdade, com calça, as outras 2 peças vêm de 5 camisas + 2 sapatos = 7, mas sem saia, então $2 \times C_{7,2} = 42$; com saia (e sem calça): 1 saia × escolha de 2 entre 5 camisas + 2 sapatos = $1 \times C_{7,2} = 21$; sem calça nem saia: escolha 3 entre 5 camisas + 2 sapatos = $C_{7,3} = 35$. Somando 42+21+35=98, o que não bate. O erro é meu: o correto é que o cliente usa 3 peças, e as peças são de tipos diferentes (camisa, calça, saia, sapato). Então os casos são: (i) 1 camisa + 1 calça + 1 sapato = $5 \times 2 \times 2 = 20$; (ii) 1 camisa + 1 saia + 1 sapato = $5 \times 1 \times 2 = 10$; (iii) 1 camisa + 2 sapatos (sem calça/saia) = $5 \times C_{2,2} = 5$; (iv) 2 camisas + 1 sapato (sem calça/saia) = $C_{5,2} \times 2 = 20$; (v) 3 camisas = $C_{5,3}=10$; (vi) 1 calça + 2 sapatos = $2 \times 1 = 2$; (vii) 1 saia + 2 sapatos = $1 \times 1 = 1$. Somando os que não têm calça e saia juntas: 20+10+5+20+10+2+1 = 68, ainda não 30. Percebo que a interpretação correta da banca é: o cliente escolhe uma peça de cada tipo (camisa, calça/saia, sapato), mas como são 3 peças, ele escolhe: 1 camisa, 1 calça ou saia, e 1 sapato. Então: com calça: $5 \times 2 \times 2 = 20$; com saia: $5 \times 1 \times 2 = 10$; total = $20+10=30$. É isso: a pegadinha é achar que pode usar 2 camisas ou 2 sapatos, mas o contexto de "se vestir com 3 peças" implica uma de cada categoria (camisa, parte de baixo, sapato). Portanto, 30.
• (D) Incorreta: 35 seria o resultado se você somasse $C_{5,2} \times 2$ (20) com $5 \times 2$ (10) e mais 5, ou se esquecesse de excluir os casos com calça e saia juntos (que dariam $5 \times 2 \times 1 \times 2 = 20$, e $50-20=30$, não 35). A armadilha é contar combinações com 2 camisas e 1 sapato como válidas, mas o problema pede "3 peças" de vestuário distintas em tipo (camisa, calça/saia, sapato), então só uma de cada.
• (E) Incorreta: 40 seria o resultado se você fizesse $5 \times 2 \times 2 + 5 \times 1 \times 2 + 5 \times 2$ (somando casos com 2 sapatos), mas isso conta combinações inválidas (como 1 camisa + 2 sapatos, que não é "se vestir" com 3 peças completas). A banca arma para você multiplicar tudo ($5 \times 2 \times 2 \times 1 = 20$) e depois somar errado, ou esquecer que saia e calça são excludentes, contando $5 \times (2+1) \times 2 = 30$ e depois adicionando 10 sem necessidade.