Questão de Matemática · CESGRANRIO Casa da Moeda do Brasil 01/2023 (nº 19)

Conceito-chave: Quando você quer que um dado seja maior ou igual a outros três, pense em contar os casos favoráveis (em que o vermelho “vence” ou empata com todos) e dividir pelo total de casos possíveis (todas as combinações dos 4 dados). O total é $6^4 = 1296$, mas a resposta final é uma fração simplificada.

• (A) Incorreta: $\frac{1}{4}$ seria a probabilidade de o vermelho ser maior que um único dado branco (na verdade, $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$), mas aqui são três brancos, então o valor é bem menor.
• (B) Incorreta: $\frac{11}{36}$ é um distrator clássico: parece a probabilidade de o vermelho ser maior que um branco (que é $\frac{15}{36}$) ou de empatar com um (que é $\frac{6}{36}$), mas não considera que precisa vencer três ao mesmo tempo. A armadilha é achar que “maior ou igual a cada um” é só comparar com o maior dos brancos, mas o correto é contar todas as triplas de brancos que são ≤ ao valor do vermelho.
• (C) Incorreta: $\frac{23}{72}$ é um valor intermediário que surge se alguém calcular $\frac{1}{6} \cdot \left(\frac{1+2+3+4+5+6}{6}\right)^3$ de forma errada, esquecendo que as somas de casos favoráveis por valor do vermelho são $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = 441$, e não um produto simples.
• (D) Correta: Para cada valor $k$ no dado vermelho ($k=1$ a $6$), os três brancos devem ser todos$\leq k$. Há$k^3$combinações favoráveis para cada$k$. Somando:$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = 1+8+27+64+125+216 = 441$. O total de casos possíveis é$6^4 = 1296$. Logo, a probabilidade é$\frac{441}{1296} = \frac{49}{144}$ (dividindo numerador e denominador por 9).
• (E) Incorreta: $\frac{53}{1296}$ é um distrator para quem conta apenas os casos em que o vermelho é estritamente maior que todos os brancos (que seria $\frac{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3}{1296} = \frac{225}{1296}$) e depois soma algo errado, ou para quem esquece de incluir os empates (que são muitos, pois o “maior ou igual” inclui igualdade).