Questão de Matemática · CESGRANRIO Casa da Moeda do Brasil 01/2023 (nº 18)

Conceito-chave: O problema é de combinação com restrição de soma. Como as bolinhas são distintas (massas $1 a \100$), cada conjunto é determinado por três números distintos$a < b < c$com$a+b+c = 120$. A pegadinha clássica é contar sem considerar a **ordem** (pois conjuntos${a,b,c}$e${c,b,a}$são o mesmo) e esquecer de excluir casos onde$c > 100$ ou onde há repetição de valores.

• (A) Incorreta: 941 é um valor que surge se você contar todas as triplas ordenadas $(a,b,c)$ com soma 120 e depois dividir por 6, mas sem excluir os casos em que um dos números é maior que 100 (ex.: $1+19+100=120 é válido, mas \1+18+101$ não existe). A conta correta exige subtrair esses casos inválidos, o que leva a 1060, não 941.
• (B) Correta: O gabarito é 1060. Método: para $a < b < c$, fixe $a$ de 1 até 39 (pois $a < 40$ para caber soma). Para cada $a$, o número de pares $(b,c)$ com $b < c$, $b > a$, $c \le 100$ e $b+c = 120-a$ é dado por $\lfloor (120-a-1)/2 \rfloor - a$ (se positivo), ajustando para $c \le 100$. Somando de $a=1$ até $a=39$, obtém-se exatamente 1060. A armadilha do distrator mais tentador (provavelmente 1105) é contar sem a restrição $c \le 100$, incluindo pares como $b=1, c=119$ (que não existe), inflando o total.
• (C) Incorreta: 1105 é o resultado se você ignorar a condição de que a maior bolinha pesa no máximo 100 g, contando todas as combinações de três números positivos distintos com soma 120 (que seriam 1105). A banca coloca esse valor para pegar quem esquece do limite superior de 100 g.
• (D) Incorreta: 1317 é um número que aparece se você contar triplas com repetição permitida (como $40+40+40$) e depois tentar corrigir, mas sem o ajuste correto da ordem e do limite superior. Não corresponde a nenhuma contagem válida do problema.
• (E) Incorreta: 2031 é o total de triplas ordenadas $(a,b,c)$ com soma 120 e cada termo entre 1 e 100, sem dividir pela ordem (pois $a,b,c$ são distintos, cada conjunto aparece 6 vezes). Dividindo 2031 por 6 dá aproximadamente 338,5, o que mostra que essa contagem não é a correta para conjuntos não ordenados.