Questão de Matemática · CESGRANRIO BASA 01/2013 (nº 19)

Conceito-chave: A função exponencial e o logaritmo são operações inversas. Se $y = 5^{3x}$, para "isolar" o expoente $3x$, aplicamos o logaritmo na base 5 nos dois lados, obtendo $\log_5(y) = 3x$. Depois, dividimos por 3, mas a forma mais elegante é reconhecer que $\sqrt[3]{y} = y^{1/3} = 5^{x}$, então $x = \log_5(\sqrt[3]{y})$.

• (A) Incorreta: $\log_5(y^3) = 3 \cdot \log_5(y) = 9x$, o que daria $x = \frac{1}{9}\log_5(y^3)$, não o valor pedido.
• (B) Incorreta: $\log_5\left(\frac{y}{3}\right)$ não tem relação direta com o expoente, pois a base 5 não está sendo dividida; seria $\log_5(y) - \log_5(3)$, que não simplifica para $x$.
• (C) Correta: Como $y = 5^{3x}$, temos $\sqrt[3]{y} = y^{1/3} = 5^{x}$, logo $x = \log_5(\sqrt[3]{y})$. (Gabarito oficial)
• (D) Incorreta: $-\log_5(3y)$ envolve soma com 3 dentro do log, o que não corresponde a dividir o expoente por 3; a armadilha aqui é confundir "dividir o expoente" com "multiplicar o argumento por 3".
• (E) Incorreta: $\frac{1}{3\log_5(y)}$ seria o inverso de $3x$, não $x$; a pegadinha é inverter a operação em vez de extrair a raiz cúbica.