Questão de Matemática · CESGRANRIO BANRISUL 01/2022 (nº 16)

Conceito-chave: Quando temos que organizar grupos separados em posições fixas, usamos o Princípio Fundamental da Contagem (multiplicar as possibilidades de cada etapa). Aqui, os 3 idosos só podem ocupar as 3 primeiras posições e os 4 mais novos as 4 últimas; como não há restrição de ordem dentro de cada grupo, calculamos as permutações de cada grupo e multiplicamos.

• (A) Incorreta: 12 seria o resultado de $3! \times 2$ (esquecendo de permutar os 4 mais novos), ou seja, trata os clientes mais novos como se fossem um bloco único, o que não é o caso.
• (B) Incorreta: 24 é o resultado de $4!$apenas (permutação só dos mais novos) ou$3! \times 4 (multiplicando por 4 em vez de \4!$), ignorando a permutação completa dos 3 idosos.
• (C) Correta: O cálculo correto é $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$. Primeiro permutamos os 3 idosos entre as 3 primeiras posições ($3! = 6), depois permutamos os 4 mais novos entre as 4 últimas (\4! = 24$), e multiplicamos os resultados.
• (D) Incorreta: 2520 é o resultado de $7!$ (permutação de todos os 7 clientes sem restrição), que é a pegadinha clássica: a banca tenta fazer você esquecer que os idosos estão presos às primeiras posições e os mais novos às últimas.
• (E) Incorreta: 5040 é o mesmo que $7!$(ou$7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$), ou seja, trata a fila como totalmente livre, ignorando completamente a restrição de separação por idade.