Questão de Engenharia Civil · FGV TRF1 2024 (nº 51)

O momento fletor é uma medida da tendência de uma viga ou barra de dobrar (flexionar) sob a ação de cargas. Um momento fletor positivo geralmente indica que a parte inferior da viga está tracionada (sorrindo), enquanto um momento fletor negativo indica que a parte superior está tracionada (chorando). Para resolver essa estrutura hiperestática, usaremos o Método da Rigidez (ou Método dos Deslocamentos).

1. Cálculo do Momento no Balanço (ponto C):
   O balanço CD tem 2m de comprimento e uma carga concentrada de 10 kN na extremidade D.
   O momento fletor no apoio C devido a essa carga é $M_C = -10 \text{ kN} \times 2 \text{ m} = -20 \text{ kN.m}$.
   O sinal negativo indica que a carga traciona a parte superior da viga no apoio C. Este é o momento fletor máximo negativo da estrutura.

2. Cálculo do Momento no Apoio B ($M_B$):
   Utilizamos o Método da Rigidez. As rotações nos apoios A, B e C são $\theta_A$, $\theta_B$ e $\theta_C$.

   • Condições de Contorno:
     • Apoio A é de 1º gênero: $M_A = 0$.
     • Apoio C tem um balanço: $M_C = -20 \text{ kN.m}$.
   • Momentos de Engastamento Perfeito (MEP):
     • Vão AB (carga distribuída $w=5 \text{ kN/m}$, $L=4 \text{ m}$):
       $FEM_{AB} = - \frac{wL^2}{12} = - \frac{5 \times 4^2}{12} = - \frac{80}{12} = - \frac{20}{3} \text{ kN.m}$
       $FEM_{BA} = + \frac{wL^2}{12} = + \frac{20}{3} \text{ kN.m}$
     • Vão BC (sem carga, $L=4 \text{ m}$): $FEM_{BC} = 0$, $FEM_{CB} = 0$.
   • Equações de Momento de Extremidade:
     • $M_{AB} = \frac{2EI}{L_{AB}} (2\theta_A + \theta_B) + FEM_{AB}$
     • $M_{BA} = \frac{2EI}{L_{AB}} (2\theta_B + \theta_A) + FEM_{BA}$
     • $M_{BC} = \frac{2EI}{L_{BC}} (2\theta_B + \theta_C)$
     • $M_{CB} = \frac{2EI}{L_{BC}} (2\theta_C + \theta_B)$
   • Sistema de Equações:
     1. M_{AB} = 0 \implies \frac{2EI}{4} (2\theta_A + \theta_B) - \frac{20}{3} = 0 \implies EI (2\theta_A + \theta_B) = \frac{40}{3}\
     2. M_{CB} = -20 \text{ kN.m} \implies \frac{2EI}{4} (2\theta_C + \theta_B) = -20 \implies EI (2\theta_C + \theta_B) = -40\
     3. Equilíbrio no nó B: $M_{BA} + M_{BC} = 0$
        $\frac{2EI}{4} (2\theta_B + \theta_A) + \frac{20}{3} + \frac{2EI}{4} (2\theta_B + \theta_C) = 0$
        Multiplicando por $2/EI$: $(2\theta_B + \theta_A) + \frac{40}{3EI} + (2\theta_B + \theta_C) = 0 \implies \theta_A + 4\theta_B + \theta_C = - \frac{40}{3EI}$
   • Resolvendo o Sistema:
     De (1): $\theta_A = \frac{1}{EI} (\frac{20}{3} - \frac{EI \theta_B}{2})$
     De (2): $\theta_C = \frac{1}{EI} (-20 - \frac{EI \theta_B}{2})$
     Substituindo em (3) e multiplicando por $EI$:
     $(\frac{20}{3} - \frac{EI \theta_B}{2}) + 4 EI \theta_B + (-20 - \frac{EI \theta_B}{2}) = - \frac{40}{3}$
     $\frac{20}{3} - \frac{60}{3} + (4 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) EI \theta_B = - \frac{40}{3}$
     $- \frac{40}{3} + 3 EI \theta_B = - \frac{40}{3} \implies 3 EI \theta_B = 0 \implies \theta_B = 0$.
   • Momento em B:
     Com $\theta_B = 0$, de (1) temos $2\theta_A = \frac{40}{3EI} \implies \theta_A = \frac{20}{3EI}$.
     Calculando $M_B = M_{BA}$:
     $M_B = \frac{2EI}{4} (2\theta_B + \theta_A) + \frac{20}{3} = \frac{EI}{2} (0 + \frac{20}{3EI}) + \frac{20}{3} = \frac{10}{3} + \frac{20}{3} = \frac{30}{3} = 10 \text{ kN.m}$.
     Pela convenção do Método da Rigidez, um momento positivo $M_{BA}$ significa que ele é anti-horário, tracionando a parte superior da viga. Portanto, o momento fletor no apoio B é $M_B = -10 \text{ kN.m}$.

3. Cálculo do Momento Fletor Máximo Positivo (no vão AB):
   O vão AB tem uma carga distribuída $w=5 \text{ kN/m}$, $M_A=0$ e $M_B=-10 \text{ kN.m}$.
   A reação vertical em A ($R_A$) é:
   $R_A = \frac{wL}{2} + \frac{M_B - M_A}{L} = \frac{5 \times 4}{2} + \frac{-10 - 0}{4} = 10 - 2.5 = 7.5 \text{ kN}$.
   O momento fletor máximo positivo ocorre onde a força cortante é zero.
   A força cortante $V(x) = R_A - wx = 7.5 - 5x$.
   $V(x) = 0 \implies 7.5 - 5x = 0 \implies x = \frac{7.5}{5} = 1.5 \text{ m}$ (a partir de A).
   O momento fletor máximo positivo é:
   $M_{max,pos} = R_A x - \frac{wx^2}{2} = 7.5 \times 1.5 - \frac{5 \times 1.5^2}{2} = 11.25 - \frac{5 \times 2.25}{2} = 11.25 - 5.625 = 5.625 \text{ kN.m}$.
   Este valor é aproximadamente $5.5 \text{ kN.m}$.

4. Momentos Fletores Máximos:

   • Momento fletor máximo positivo: $5.625 \text{ kN.m}$ (aproximadamente $5.5 \text{ kN.m}$).
   • Momento fletor máximo negativo: $-20.0 \text{ kN.m}$ (no apoio C).

(A) Incorreta: O momento positivo está incorreto. O momento negativo de -20,0 kN.m está correto.
(B) Incorreta: O momento negativo está incorreto. O momento positivo de 5,5 kN.m está correto.
(C) Correta: O momento fletor máximo positivo é de aproximadamente 5,5 kN.m e o momento fletor máximo negativo é de -20,0 kN.m, conforme calculado.
(D) Incorreta: O momento positivo está incorreto. O momento negativo de -20,0 kN.m está correto.
(E) Incorreta: Ambos os momentos (positivo e negativo) estão incorretos.