Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SEFAZ-MG 2022 - Manhã (nº 9)

A mediana é o valor central de um conjunto de dados quando eles estão organizados em ordem crescente. Se o número de dados for par, a mediana é a média dos dois valores do meio.

A lista de números é composta por duas partes:

1. $S_1 = \{1, 2, 3, \dots, 100\}$ (100 números)
2. $S_2 = \{1^2, 2^2, 3^2, \dots, 100^2\} = \{1, 4, 9, \dots, 10000\}$ (100 números)

O total de números na lista é $100 + 100 = 200$.
Como o número de elementos é par (200), a mediana será a média aritmética do 100º e do 101º elementos, após a lista ser ordenada em ordem crescente.

Para ordenar a lista, precisamos identificar os números e suas repetições:

• Os números de $S_1$ são $1, 2, \dots, 100$.
• Os números de $S_2$ são $1^2, 2^2, \dots, 100^2$.
  Observe que alguns números aparecem em ambas as listas. São os números $k$ tais que $k \in S_1$ e $k$ é um quadrado perfeito (ou seja, $k = m^2$ para algum $m$).
  Os quadrados perfeitos entre 1 e 100 são: $1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81, 10^2=100$.
  Esses 10 números aparecem duas vezes na lista combinada. Os outros $100 - 10 = 90$números de$S_1$(que não são quadrados perfeitos) aparecem uma vez. Os números de$S_2$que são maiores que 100 (ou seja,$11^2=121, 12^2=144, \dots, 100^2=10000) aparecem uma vez. Há \100 - 10 = 90$ desses números.

A lista ordenada começa com os números menores ou iguais a 100, incluindo suas repetições.
Para encontrar o 100º e o 101º elementos, vamos contar quantos números são menores ou iguais a um certo valor $X$.
Se $X \le 100$, o número de elementos na lista que são menores ou iguais a $X$ é dado por:
$C(X) = (\text{números de } S_1 \le X) + (\text{números de } S_2 \le X)$
$C(X) = X + \lfloor\sqrt{X}\rfloor$ (onde $\lfloor\sqrt{X}\rfloor$ é o maior inteiro menor ou igual à raiz quadrada de $X$, representando a quantidade de quadrados perfeitos $\le X$).

Estamos procurando o 100º e o 101º elementos. Vamos testar valores de $X$ próximos a 100:

• Para $X = 90$: $C(90) = 90 + \lfloor\sqrt{90}\rfloor = 90 + 9 = 99$.
  Isso significa que o 99º elemento da lista ordenada é 90.
• O próximo elemento na lista ordenada (o 100º) será o próximo número inteiro após 90 que não seja um quadrado perfeito (pois 90 não é um quadrado perfeito). O próximo número é 91.
  $C(91) = 91 + \lfloor\sqrt{91}\rfloor = 91 + 9 = 100$.
  Portanto, o 100º elemento da lista é 91. ($X_{100} = 91$)
• O próximo elemento na lista ordenada (o 101º) será o próximo número inteiro após 91. O próximo número é 92.
  $C(92) = 92 + \lfloor\sqrt{92}\rfloor = 92 + 9 = 101$.
  Portanto, o 101º elemento da lista é 92. ($X_{101} = 92$)

A mediana é a média do 100º e 101º elementos:
Mediana = $(X_{100} + X_{101}) / 2 = (91 + 92) / 2 = 183 / 2 = 91,5$.

(A) Incorreta: 50,5 seria a mediana se a lista fosse apenas os números de 1 a 100. A pegadinha aqui é ignorar a segunda parte da lista ($1^2, \dots, 100^2$) ou o impacto que ela tem na ordenação e na contagem dos elementos.
(B) Incorreta: 72,5 não corresponde a nenhuma etapa lógica do cálculo da mediana para esta lista.
(C) Incorreta: 80,5 não corresponde a nenhuma etapa lógica do cálculo da mediana para esta lista.
(D) Correta: A mediana é 91,5, calculada como a média dos 100º e 101º elementos da lista ordenada, que são 91 e 92, respectivamente.
(E) Incorreta: 100 é um número proeminente na definição da lista, mas não é a mediana. O número 100 aparece nas posições 109 e 110 da lista ordenada, não nas posições centrais. Esta é uma armadilha para quem associa a mediana com o "meio" do intervalo numérico principal (1 a 100) sem considerar a contagem e ordenação corretas de todos os 200 elementos.