Questão de Química · FGV SEE-MG 2023 (nº 42)

A meia-vida de um elemento radioativo é o tempo que leva para metade da sua quantidade inicial (ou atividade) decair. O decaimento radioativo segue uma lei de primeira ordem, onde a atividade diminui exponencialmente com o tempo.

A fórmula para o decaimento radioativo é:
$A = A_0 \cdot (1/2)^{t/T}$
Onde:

• $A$ = atividade atual do artefato ($10,7\ dpm\cdot g^{-1}$)
• $A_0$ = atividade inicial (de um material vivo, $14,0\ dpm\cdot g^{-1}$)
• $t$ = idade do artefato (o que queremos encontrar)
• $T$ = tempo de meia-vida ($5600$ anos)

Substituindo os valores na fórmula:
$10,7 = 14,0 \cdot (1/2)^{t/5600}$

Dividimos ambos os lados por $14,0$:$10,7 / 14,0 = (1/2)^{t/5600}$$0,76428... = (1/2)^{t/5600}$

Para facilitar o cálculo e usar os dados fornecidos, podemos inverter a fração e a base:
$14,0 / 10,7 = (2)^{t/5600}$
$1,3084... = (2)^{t/5600}$

Observe que $1,3084... é muito próximo de \1,3$. A questão nos fornece$\log 1,3 = 0,11$, indicando que devemos usar essa aproximação. Então,$1,3 = (2)^{t/5600}$

Agora, aplicamos o logaritmo (base 10, pois os dados são em $\log$) em ambos os lados:
$\log(1,3) = \log((2)^{t/5600})$

Usando a propriedade do logaritmo $\log(x^y) = y \cdot \log(x)$:
$\log(1,3) = (t/5600) \cdot \log(2)$

Substituímos os valores de $\log 1,3 = 0,11$ e $\log 2 = 0,3$:
$0,11 = (t/5600) \cdot 0,3$

Agora, isolamos $t$:
$t/5600 = 0,11 / 0,3$
$t/5600 = 11 / 30$
$t = 5600 \cdot (11 / 30)$
$t = 61600 / 30$
$t = 6160 / 3$
$t \approx 2053,33$ anos

Este valor é aproximadamente $2050$ anos.

(A) Incorreta: Este valor não é obtido por meio da aplicação correta da fórmula de decaimento radioativo com os dados fornecidos.
(B) Correta: A idade do artefato é calculada usando a fórmula de decaimento radioativo, a meia-vida do carbono-14 e a razão entre a atividade inicial e a atividade medida, resultando em aproximadamente 2050 anos.
(C) Incorreta: Este valor resulta de um erro de cálculo ou de uma aplicação incorreta da fórmula de decaimento.
(D) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado da aplicação correta da fórmula de decaimento radioativo.