Questão de Economia e Finanças Públicas · FGV Receita Federal do Brasil 2023 - Manhã (nº 35)

O Equilíbrio de Nash é uma situação em um jogo onde nenhum jogador pode melhorar seu resultado (ganhar, neste caso) mudando unilateralmente sua estratégia, assumindo que os outros jogadores mantêm as suas. Para encontrar o equilíbrio, precisamos entender a condição de vitória de cada jogador.

A condição para o jogador $i$ ganhar é $x_i = \frac{1}{2} \left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right)$.
Simplificando esta equação:
$x_i = \frac{x_1 + x_2}{4}$
$4x_i = x_1 + x_2$

Se o Jogador 1 (P1) ganha, então $4x_1 = x_1 + x_2 \implies 3x_1 = x_2$.
Se o Jogador 2 (P2) ganha, então $4x_2 = x_1 + x_2 \implies 3x_2 = x_1$.

Para que um par $(x_1, x_2)$ seja um Equilíbrio de Nash, ambos os jogadores devem estar satisfeitos com sua escolha (ou seja, ganhando, se possível) e não ter incentivo para mudar. A forma mais forte de Equilíbrio de Nash aqui é quando ambos conseguem ganhar.

Se ambos os jogadores ganham, então ambas as condições devem ser verdadeiras simultaneamente:

1. 3x_1 = x_2\
2. $3x_2 = x_1$

Substituindo a primeira equação na segunda:
$3(3x_1) = x_1$
$9x_1 = x_1$
$8x_1 = 0 \implies x_1 = 0$.

Se $x_1 = 0$, então da primeira equação, $x_2 = 3(0) = 0$.
Portanto, o único par em que ambos os jogadores podem ganhar é $(0,0)$.

Vamos verificar se $(0,0)$ é um Equilíbrio de Nash:

1. Ambos escolhem (0,0):

   • P1 escolhe $x_1=0$. Condição de vitória de P1: $0 = \frac{1}{2} \left( \frac{0+0}{2} \right) \implies 0 = 0$. P1 ganha.
   • P2 escolhe $x_2=0$. Condição de vitória de P2: $0 = \frac{1}{2} \left( \frac{0+0}{2} \right) \implies 0 = 0$. P2 ganha.
     Neste cenário, ambos ganham.

2. P1 tenta desviar unilateralmente (P2 mantém $x_2=0$):
   Suponha que P1 escolha $x_1' > 0$ (ex: $x_1'=10$). O par seria $(10,0)$.

   • P1 ganha se $x_1' = \frac{1}{2} \left( \frac{x_1'+0}{2} \right) \implies x_1' = \frac{x_1'}{4} \implies 3x_1' = 0 \implies x_1' = 0$.
     Como P1 escolheu $x_1' > 0$, P1 não ganha. P1 foi de uma situação de vitória (escolhendo 0) para uma de não-vitória (escolhendo $x_1' > 0$). Portanto, P1 não tem incentivo para desviar.

3. P2 tenta desviar unilateralmente (P1 mantém $x_1=0$):
   De forma simétrica, se P2 escolher $x_2' > 0$ (ex: $x_2'=10$), P2 também não ganhará e terá ido de uma situação de vitória para uma de não-vitória. P2 não tem incentivo para desviar.

Como nenhum jogador tem incentivo para mudar sua estratégia unilateralmente, $(0,0)$ é um Equilíbrio de Nash.

(A) Correta: Se ambos escolhem 0, a média é 0, metade da média é 0. Ambos os jogadores satisfazem a condição de vitória ($x_i = 0$). Se um jogador desviar para qualquer $x_i' > 0$ enquanto o outro mantém 0, o jogador que desviou não mais satisfará a condição de vitória ($x_i' = x_i'/4 \implies x_i' = 0$, o que contradiz $x_i' > 0$). Portanto, nenhum jogador tem incentivo para desviar.
(B) Incorreta: Se ambos escolhem 50, a média é 50, e metade da média é 25. Nenhum dos jogadores satisfaz a condição de vitória ($50 \neq 25$). Além disso, se P2 escolhe 50, P1 poderia escolher $x_1 = 50/3 \approx 16.67$ para ganhar, tendo incentivo para desviar. Armadilha da banca: A tentação é pensar que um valor "central" ou "equilibrado" como (50,50) seria um NE, mas as regras específicas do jogo mostram que não é o caso, pois nenhum jogador ganha e ambos têm incentivo para mudar.
(C) Incorreta: Se P1 escolhe 25 e P2 escolhe 50, a média é 37.5, e metade da média é 18.75. Nem P1 ($25 \neq 18.75$) nem P2 ($50 \neq 18.75$) satisfazem a condição de vitória. P1, por exemplo, teria incentivo para desviar para $x_1 = 50/3 \approx 16.67$ para ganhar.
(D) Incorreta: Simétrico à alternativa (C). Nem P1 nem P2 satisfazem a condição de vitória. P2 teria incentivo para desviar para $x_2 = 50/3 \approx 16.67$ para ganhar.
(E) Incorreta: Se ambos escolhem 100, a média é 100, e metade da média é 50. Nenhum dos jogadores satisfaz a condição de vitória ($100 \neq 50$). P1, por exemplo, teria incentivo para desviar para $x_1 = 100/3 \approx 33.33$ para ganhar.