Questão de Raciocínio Lógico · FGV PM-PB 2021 (nº 13)

Para que uma fração seja um número inteiro, o numerador deve ser divisível pelo denominador. Simplificar a expressão algébrica é o primeiro passo crucial.

• Conceito-chave: Para que uma expressão fracionária como $\frac{A}{B}$ resulte em um número inteiro, o numerador $A$ deve ser um múltiplo do denominador $B$.

Vamos simplificar a expressão dada:
$\frac{3x}{4} - \frac{5x}{12}$

Para subtrair as frações, encontramos um denominador comum, que é o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de 4 e 12, que é 12.
$\frac{3x \times 3}{4 \times 3} - \frac{5x}{12} = \frac{9x}{12} - \frac{5x}{12}$
Agora que as frações têm o mesmo denominador, podemos subtrair os numeradores:
$\frac{9x - 5x}{12} = \frac{4x}{12}$
Simplificando a fração, dividindo o numerador e o denominador por 4:
$\frac{4x \div 4}{12 \div 4} = \frac{x}{3}$

O problema afirma que $\frac{x}{3}$ é um número inteiro positivo.
Para que $\frac{x}{3}$ seja um número inteiro, $x$ deve ser um múltiplo de 3.
Além disso, para que o resultado seja positivo, $x$ também deve ser positivo.

A) Incorreta: Se x fosse múltiplo de 12, por exemplo $x=12$, a expressão seria $\frac{12}{3}=4$, que é um inteiro positivo. Mas x não precisa ser múltiplo de 12; por exemplo, se $x=3$, a expressão é $\frac{3}{3}=1$, que também é um inteiro positivo, e 3 não é múltiplo de 12.
B) Incorreta: Se x fosse múltiplo de 7, por exemplo $x=7$, a expressão seria $\frac{7}{3}$, que não é um número inteiro.
C) Incorreta: Se x fosse múltiplo de 6, por exemplo $x=6$, a expressão seria $\frac{6}{3}=2$, que é um inteiro positivo. Mas x não precisa ser múltiplo de 6; por exemplo, se $x=3$, a expressão é $\frac{3}{3}=1$, que também é um inteiro positivo, e 3 não é múltiplo de 6.
D) Incorreta: Se x fosse múltiplo de 4, por exemplo $x=4$, a expressão seria $\frac{4}{3}$, que não é um número inteiro.
(E) Correta: Após simplificar a expressão para $\frac{x}{3}$, concluímos que, para que o resultado seja um número inteiro, o valor de x deve ser um múltiplo de 3.