Questão de Petróleo - Exploração e Produção · FGV EPE 2024 (nº 56)

Quando lidamos com funções exponenciais, como a que descreve a depreciação de um ativo, o valor muda por um fator constante ao longo do tempo. Para encontrar o tempo em que um valor específico é atingido, utilizamos logaritmos, que nos permitem "tirar" a variável do expoente.

(A) Incorreta: Esta alternativa sugere que todas as afirmativas são verdadeiras, o que não se alinha com a análise.
(B) Incorreta: Esta alternativa sugere que a primeira afirmativa é falsa e a segunda é verdadeira, o que está incorreto.
(C) Correta: Esta alternativa (V – F – V) é a correta, pois:

• Primeira afirmativa (V): O valor atual de um ativo é o seu valor no tempo $t=0$. Substituindo $t=0$ na função $v(t) = 600.000 \cdot 0,9^t$, temos $v(0) = 600.000 \cdot 0,9^0 = 600.000 \cdot 1 = 600.000$. Portanto, o valor atual é R$600.000.
• Segunda afirmativa (F): A perda na primeira década é a diferença entre o valor atual ($t=0$) e o valor após uma década ($t=1$). Já sabemos que $v(0) = 600.000$. Para $t=1$, $v(1) = 600.000 \cdot 0,9^1 = 600.000 \cdot 0,9 = 540.000$. A perda é $600.000 - 540.000 = 60.000. A afirmativa diz R\80.000, o que é falso. Armadilha: A banca simplesmente apresenta um valor incorreto para uma conta direta, testando a atenção e a precisão do cálculo.
• Terceira afirmativa (V): Para encontrar o tempo $t$ em que o valor é R$450.000, montamos a equação: $450.000 = 600.000 \cdot 0,9^t$. Dividindo ambos os lados por $600.000$, obtemos$0,9^t = 450.000 / 600.000 = 45/60 = 3/4 = 0,75$. Aplicando logaritmo (base 10) em ambos os lados:$\log(0,9^t) = \log(0,75) \implies t \cdot \log(0,9) = \log(0,75)$.
  • Calculando $\log(0,9)$: $\log(9/10) = \log(9) - \log(10) = \log(3^2) - 1 = 2 \cdot \log(3) - 1 = 2 \cdot 0,48 - 1 = 0,96 - 1 = -0,04$.
  • Calculando $\log(0,75)$: $\log(3/4) = \log(3) - \log(4) = \log(3) - \log(2^2) = \log(3) - 2 \cdot \log(2) = 0,48 - 2 \cdot 0,30 = 0,48 - 0,60 = -0,12$.
  • Substituindo na equação: $t \cdot (-0,04) = -0,12 \implies t = -0,12 / -0,04 = 3$.
    Como $t$ é dado em décadas, 3 décadas equivalem a $3 \times 10 = 30$ anos. Portanto, a afirmativa é verdadeira. Armadilha: O erro mais comum aqui é esquecer de converter o tempo de décadas para anos no final do cálculo.
    (D) Incorreta: Esta alternativa sugere que as duas primeiras afirmativas são falsas, o que não é verdade para a primeira.
    (E) Incorreta: Esta alternativa sugere que a terceira afirmativa é falsa, o que está incorreto.