Questão de Ciência de Dados · FGV CVM 2024 (nº 14)

O Critério de Informação Bayesiano (BIC) é uma ferramenta para escolher o melhor modelo entre várias opções. Ele busca um equilíbrio entre o quão bem um modelo se ajusta aos dados (verossimilhança) e sua complexidade (número de parâmetros), penalizando modelos mais complexos. Um valor de BIC menor indica um modelo preferível.

A fórmula do BIC é: $BIC = -2 \cdot \ln(L) + k \cdot \ln(n)$
Onde:

• $L$ é o valor maximizado da função de verossimilhança (quão bem o modelo explica os dados).
• $k$ é o número de parâmetros do modelo (sua complexidade).
• $n$ é o tamanho da amostra.

Primeiro, calculamos $\ln(n)$ e os valores de $\ln(L)$ usando as aproximações fornecidas:

• $n = 200$

• $\ln(n) = \ln(200) = \ln(2 \cdot 100) = \ln(2) + \ln(100) = \ln(2) + 2 \cdot \ln(10) = \ln(2) + 2 \cdot (\ln(2) + \ln(5))$

• $\ln(200) = 0.7 + 2 \cdot (0.7 + 1.6) = 0.7 + 2 \cdot (2.3) = 0.7 + 4.6 = 5.3$

• $\ln(0.3) = \ln(3/10) = \ln(3) - \ln(10) = 1.1 - 2.3 = -1.2$

• $\ln(0.4) = \ln(4/10) = \ln(2^2/10) = 2 \cdot \ln(2) - \ln(10) = 2 \cdot 0.7 - 2.3 = 1.4 - 2.3 = -0.9$

• $\ln(0.5) = \ln(1/2) = -\ln(2) = -0.7$

Agora, calculamos o BIC para cada modelo:

• M1: $k=2$, $\ln(L)=-1.2$
  $BIC_{M1} = -2 \cdot (-1.2) + 2 \cdot 5.3 = 2.4 + 10.6 = 13.0$

• M2: $k=2$, $\ln(L)=-0.9$
  $BIC_{M2} = -2 \cdot (-0.9) + 2 \cdot 5.3 = 1.8 + 10.6 = 12.4$

• M3: $k=2$, $\ln(L)=-0.7$
  $BIC_{M3} = -2 \cdot (-0.7) + 2 \cdot 5.3 = 1.4 + 10.6 = 12.0$

• M4: $k=3$, $\ln(L)=-1.2$
  $BIC_{M4} = -2 \cdot (-1.2) + 3 \cdot 5.3 = 2.4 + 15.9 = 18.3$

• M5: $k=3$, $\ln(L)=-0.7$
  $BIC_{M5} = -2 \cdot (-0.7) + 3 \cdot 5.3 = 1.4 + 15.9 = 17.3$

Comparando os valores de BIC:
$BIC_{M1} = 13.0$
$BIC_{M2} = 12.4$
$BIC_{M3} = 12.0$
$BIC_{M4} = 18.3$
$BIC_{M5} = 17.3$

O menor valor de BIC é 12.0, que corresponde ao Modelo M3.

• (A) Incorreta: O BIC de M1 é 13.0, que é maior que o BIC de M3.
• (B) Incorreta: O BIC de M2 é 12.4, que é maior que o BIC de M3.
• (C) Correta: O modelo M3 apresenta o menor valor de BIC (12.0), indicando o melhor equilíbrio entre ajuste aos dados e complexidade, sendo, portanto, o modelo selecionado pelo critério.
• (D) Incorreta: O BIC de M4 é 18.3, que é o maior entre todos os modelos, indicando um modelo menos adequado.
• (E) Incorreta: O BIC de M5 é 17.3. Embora M5 tenha a mesma verossimilhança maximizada que M3 (0.5), ele possui mais parâmetros ($k=3$ contra $k=2$ de M3), o que resulta em uma penalidade maior na fórmula do BIC, tornando-o menos preferível que M3. Esta é a armadilha: não basta ter a maior verossimilhança; a complexidade do modelo também é crucial no BIC.