Questão de Contabilidade · FGV CMSP 2024 (nº 90)

Em sistemas de amortização, a prestação é o valor pago periodicamente, que inclui uma parte para quitar o principal (o valor do empréstimo, chamada amortização) e outra para pagar os juros sobre o saldo devedor.

• (A) Incorreta: O valor do empréstimo calculado é R$ 15.000,00, que não se encontra neste intervalo.
• (B) Incorreta: O valor do empréstimo calculado é R$ 15.000,00, que não se encontra neste intervalo.
• (C) Incorreta: O valor do empréstimo calculado é R$ 15.000,00, que não se encontra neste intervalo.
• (D) Incorreta: O valor do empréstimo calculado é R$ 15.000,00, que não se encontra neste intervalo.
• (E) Correta: Para encontrar o valor do empréstimo, podemos usar as informações de qualquer um dos sistemas, pois o resultado deve ser o mesmo.

1. Usando o Sistema de Amortização Constante (SAC):
No SAC, a amortização (A) do principal é constante em todas as prestações.
$A = \frac{\text{Valor do Empréstimo (V)}}{\text{Número de Prestações (n)}} = \frac{V}{6}$
A prestação (P) é a soma da amortização e dos juros. Os juros (J) são calculados sobre o saldo devedor do período anterior.
$P_k^{SAC} = A + J_k^{SAC}$
$J_k^{SAC} = \text{Saldo Devedor}_{k-1} \times i$
O saldo devedor no início do período $k$ é $SD_{k-1} = V - (k-1)A$.
Para a 3ª prestação ($k=3$):
$SD_2 = V - 2A = V - 2 \left(\frac{V}{6}\right) = V - \frac{V}{3} = \frac{2V}{3}$
$J_3^{SAC} = SD_2 \times i = \frac{2V}{3} \times 0,07$
$P_3^{SAC} = A + J_3^{SAC} = \frac{V}{6} + \frac{2V}{3} \times 0,07$
Sabemos que P_3^{SAC} = R\ 3.200,00$:$3.200 = \frac{V}{6} + \frac{0,14V}{3}$Para somar as frações, encontramos um denominador comum (150):$3.200 = \frac{25V}{150} + \frac{7V}{150}$$3.200 = \frac{32V}{150}$$V = \frac{3.200 \times 150}{32} = 100 \times 150 = R$ 15.000,00$

2. Usando o Sistema de Amortização Misto (SAM) e Sistema Price:
O SAM é a média aritmética entre as prestações do SAC e do Sistema Price (ou Francês).
$P_k^{SAM} = \frac{P_k^{SAC} + P_k^{Price}}{2}$
Para a 3ª prestação:
P_3^{SAM} = R\ 3.175,00$$P_3^{SAC} = R$ 3.200,00$(calculado ou dado)$3.175 = \frac{3.200 + P_3^{Price}}{2}$$6.350 = 3.200 + P_3^{Price}$$P_3^{Price} = 6.350 - 3.200 = R$ 3.150,00$No Sistema Price, todas as prestações são iguais, então$P^{Price} = R$ 3.150,00$. O valor do empréstimo (V) no Sistema Price é dado pela fórmula do valor presente de uma anuidade:$V = P^{Price} \times \left[ \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \right]$Temos$P^{Price} = 3.150$,$i = 0,07$,$n = 6$. O problema nos dá$1,07^6 = 1,5$. Portanto,$(1+i)^{-n} = (1,07)^{-6} = \frac{1}{1,07^6} = \frac{1}{1,5} = \frac{2}{3}$.$V = 3.150 \times \left[ \frac{1 - \frac{2}{3}}{0,07} \right]$$V = 3.150 \times \left[ \frac{\frac{1}{3}}{0,07} \right]$$V = 3.150 \times \left[ \frac{1}{3 \times 0,07} \right]$$V = 3.150 \times \left[ \frac{1}{0,21} \right]$$V = \frac{3.150}{0,21} = \frac{315.000}{21} = R$ 15.000,00$

Ambos os métodos confirmam que o valor do empréstimo é R$ 15.000,00. Este valor está entre R$ 14.800,00 e R$ 15.200,00.