Questão de Física · FGV CBMERJ 2024 (nº 89)

A dilatação térmica é a mudança no tamanho de um material (como o comprimento de uma coluna) quando sua temperatura varia. A dilatação linear é o alongamento ou encurtamento de um objeto em uma dimensão e é calculada pela fórmula $\Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T$, onde $\Delta L$ é a variação do comprimento, $L_0$ é o comprimento inicial, $\alpha$ é o coeficiente de dilatação linear (uma propriedade do material) e $\Delta T$ é a variação de temperatura.

• (A) Incorreta: Se $L_1=2$m e $L_2=4$m, a condição geométrica $L_2 = L_1 + 2$ é satisfeita. No entanto, com os coeficientes fornecidos no enunciado ($\alpha_1 = 2,4 \times 10^{-5}$/°C e $\alpha_2 = 8 \times 10^{-4}$/°C), a condição de dilatação $L_1 \alpha_1 = L_2 \alpha_2$ não é satisfeita ($2 \times 2,4 \times 10^{-5} \ne 4 \times 8 \times 10^{-4}$).

• (B) Incorreta: Se $L_1=2$m e $L_2=3$m, a condição geométrica $L_2 = L_1 + 2$ não é satisfeita ($3 \ne 2 + 2$).

• (C) Incorreta: Se $L_1=1$m e $L_2=4$m, a condição geométrica $L_2 = L_1 + 2$ não é satisfeita ($4 \ne 1 + 2$).

• (D) Incorreta: Se $L_1=1$m e $L_2=2$m, a condição geométrica $L_2 = L_1 + 2$ não é satisfeita ($2 \ne 1 + 2$).

• (E) Correta: Para que a plataforma permaneça horizontal, duas condições devem ser satisfeitas:

  1. Condição geométrica inicial: A figura mostra que a base da coluna (1) está 2m acima da base da coluna (2). Para que a plataforma esteja horizontal, o comprimento inicial da coluna (2) ($L_2$) deve ser 2m maior que o da coluna (1) ($L_1$). Assim, $L_2 = L_1 + 2$.
  2. Condição de dilatação térmica: Para que a plataforma permaneça horizontal para qualquer variação de temperatura ($\Delta T$), a variação de comprimento de ambas as colunas deve ser a mesma: $\Delta L_1 = \Delta L_2$. Usando a fórmula da dilatação linear, temos $L_1 \alpha_1 \Delta T = L_2 \alpha_2 \Delta T$. Como $\Delta T$ é comum e não nulo, podemos cancelá-lo, resultando em $L_1 \alpha_1 = L_2 \alpha_2$.

  Armadilha da banca: Com os coeficientes de dilatação linear fornecidos no enunciado ($\alpha_1 = 2,4 \times 10^{-5}$/°C e $\alpha_2 = 8 \times 10^{-4}$/°C), o sistema de equações levaria a comprimentos negativos, o que é fisicamente impossível. Para que a alternativa (E) seja a correta, é necessário que o coeficiente de dilatação linear do material da coluna (2) seja $8 \times 10^{-6}$/°C (e não $8 \times 10^{-4}$/°C), indicando um provável erro de digitação no enunciado.

  Assumindo que o valor correto para $\alpha_2$ seja $8 \times 10^{-6}$/°C, aplicamos a condição de dilatação:
  $L_1 \cdot (2,4 \times 10^{-5}) = L_2 \cdot (8 \times 10^{-6})$
  Para simplificar, podemos reescrever $2,4 \times 10^{-5}$ como $24 \times 10^{-6}$:
  $L_1 \cdot (24 \times 10^{-6}) = L_2 \cdot (8 \times 10^{-6})$
  Dividindo ambos os lados por $10^{-6}$:
  $24 L_1 = 8 L_2$
  Dividindo por 8:
  $3 L_1 = L_2$

  Agora, resolvemos o sistema de equações:
  I) $L_2 = L_1 + 2$ (condição geométrica)
  II) $L_2 = 3 L_1$ (condição de dilatação)

  Substituindo a Equação (II) na Equação (I):
  $3 L_1 = L_1 + 2$
  $3 L_1 - L_1 = 2$
  $2 L_1 = 2$
  $L_1 = 1$ m

  Substituindo $L_1 = 1$ m na Equação (II):
  $L_2 = 3 \cdot 1$
  $L_2 = 3$ m

  Portanto, os comprimentos iniciais das colunas (1) e (2) devem ser, respectivamente, 1m e 3m.