Questão de Matemática · FGV CBMERJ 2024 (nº 50)

A Lei dos Cossenos é uma fórmula que nos ajuda a encontrar o comprimento de um lado de um triângulo quando conhecemos os outros dois lados e o ângulo entre eles.

• A) Incorreta: O cálculo correto da Lei dos Cossenos para o triângulo MCN, com lados 8 e 6 e ângulo de $60^\circ$, não resulta em $MN^2 = 40$.
• B) Incorreta: Esta alternativa ($\sqrt{48}$) seria obtida se houvesse um erro de cálculo, como subtrair $2ab \cos(\theta)$ de forma incorreta, ou se o ângulo fosse diferente, o que não é o caso. É um distrator tentador por ser um valor próximo do correto.
• (C) Correta: O triângulo ABC é equilátero, então seus lados medem 10 e seus ângulos internos são $60^\circ$. No triângulo MCN, temos $CM = CA - MA = 10 - 2 = 8$ e $CN = CB - BN = 10 - 4 = 6$. O ângulo $\angle MCN$ é $60^\circ$. Aplicando a Lei dos Cossenos: $MN^2 = CM^2 + CN^2 - 2 \cdot CM \cdot CN \cdot \cos(60^\circ)$. Substituindo os valores: $MN^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot (1/2) = 64 + 36 - 48 = 100 - 48 = 52$. Portanto, $MN = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$.
• D) Incorreta: O valor $2\sqrt{15}$ ($\sqrt{60}$) não corresponde ao resultado da aplicação correta da Lei dos Cossenos.
• E) Incorreta: O valor $5\sqrt{2}$ ($\sqrt{50}$) seria obtido se o resultado de $MN^2$ fosse 50, o que não ocorre com os dados fornecidos.