Questão de Matemática · FGV BBTS 2023 (nº 30)

A probabilidade é a medida da chance de um evento ocorrer, calculada dividindo o número de resultados que nos interessam (eventos favoráveis) pelo número total de resultados possíveis (espaço amostral), assumindo que todos os resultados são igualmente prováveis. Para calcular arranjos de pessoas em lugares distintos, usamos permutações.

• Cálculo do Espaço Amostral (Total de Arranjos):
  Temos 6 pessoas e 6 lugares numerados (distintos). Cada pessoa retira uma bolinha e senta no lugar correspondente. Isso é equivalente a permutar 6 pessoas em 6 lugares.
  O número total de arranjos é $P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.

• Cálculo do Evento Complementar (A e B juntos):
  É mais fácil calcular a probabilidade de A e B ficarem juntos e depois subtrair de 1 para encontrar a probabilidade de não ficarem juntos.

  1. Trate A e B como um bloco único (AB): Agora temos 5 "unidades" para arranjar: (AB), C, D, E, F.
  2. Escolha os lugares para o bloco (AB): Como os lugares são numerados e a mesa é circular, há 6 pares de lugares adjacentes: (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,1). Portanto, há 6 maneiras de escolher os dois lugares adjacentes para A e B.
  3. Arranje A e B dentro do bloco: A e B podem trocar de lugar dentro do bloco (AB ou BA). Isso dá $2! = 2$ maneiras.
  4. Arranje as pessoas restantes: As 4 pessoas restantes (C, D, E, F) podem ser arranjadas nos 4 lugares restantes de $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ maneiras.
     Número de arranjos onde A e B ficam juntos = $6 \times 2 \times 24 = 288$.

• Cálculo do Evento Favorável (A e B não juntos):
  Número de arranjos onde A e B não ficam juntos = Total de arranjos - Número de arranjos onde A e B ficam juntos
  $720 - 288 = 432$.

• Cálculo da Probabilidade:
  Probabilidade (A e B não juntos) = (Número de arranjos onde A e B não ficam juntos) / (Total de arranjos)
  $P = \frac{432}{720}$
  Simplificando a fração:
  $P = \frac{432 \div 144}{720 \div 144} = \frac{3}{5}$.

(A) Incorreta: O valor $\frac{1}{2}$ não corresponde aos cálculos de arranjos e probabilidades.
(B) Incorreta: O valor $\frac{2}{3}$ não corresponde aos cálculos de arranjos e probabilidades.
(C) Incorreta: O valor $\frac{3}{4}$ não corresponde aos cálculos de arranjos e probabilidades.
(D) Incorreta: Esta é a probabilidade de A e B ficarem juntos ($288/720 = 2/5$). A armadilha da banca aqui é que o aluno pode calcular a probabilidade do evento complementar (ficarem juntos) e marcar essa alternativa, esquecendo que a pergunta pede a probabilidade de *não* ficarem juntos. **(E) Correta:** A probabilidade de A e B não ficarem juntos é$\frac{3}{5}$, conforme calculado subtraindo o número de casos em que eles estão juntos do total de arranjos e dividindo pelo total.